圆锥曲线知识点总结与经典例题.doc
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圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备:
1.直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离
③夹角公式:
直线夹角为,则
(3)弦长公式
直线上两点间的距离
①②
③
(4)两条直线的位置关系
(Ⅰ)
①=-1②
(Ⅱ)
①
②或者()
两平行线距离公式
距离距离
二、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0 1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集: ({M||MF1+|MF2|=2a,|F1F2|<2a}. 点集: {M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M||MF|=点M到直线l的距离}. 图形 方 程 标准方程 (>0) (a>0,b>0) 参数方程 (t为参数) 范围 ─a£x£a,─b£y£b |x|³a,yÎR x³0 中心 原点O(0,0) 原点O(0,0) 顶点 (a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b) (a,0),(─a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴; 长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴; 实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦点 F1(c,0),F2(─c,0) F1(c,0),F2(─c,0) 准线 x=± 准线垂直于长轴,且在椭圆外. x=± 准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧. x=- 准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等. 焦距 2c(c=) 2c(c=) 离心率 e=1 焦半径 P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时: P在左支时: |PF1|=a+ex0|PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0|PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 【备注1】双曲线: ⑶等轴双曲线: 双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率. ⑷共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: . ⑸共渐近线的双曲线系方程: 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为. 【备注2】抛物线: (1)抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右;抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左;抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=- ,开口向上; 抛物线=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下. (2)抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 (3)设抛物线的标准方程为=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p. (4)已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角),,(叫做焦半径). 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例1: 已知椭圆的焦点是F1(0,-1)、F2(0,1),P是椭圆上一点,并且PF1+PF2=2F1F2,求椭圆的标准方程。 解: 由PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得2a=4.又c=1,所以b2=3. 所以椭圆的标准方程是+=1. 2.已知椭圆的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且2a=10,求椭圆的标准方程. 解: 由椭圆定义知c=1,∴b==.∴椭圆的标准方程为+=1. 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例: 1.椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析: 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解: (1)当为长轴端点时,,, 椭圆的标准方程为: ; (2)当为短轴端点时,,, 椭圆的标准方程为: ; 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 例.求过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程. 解: 因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为+=1.由点(-3,2)在椭圆上知+ =1,所以a2=15.所以所求椭圆的标准方程为+=1. 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 例: 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为 中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解: 由题意,设椭圆方程为, 由,得, ∴,, ,∴,∴为所求. 五、求椭圆的离心率问题。 例已知椭圆的离心率,求的值. 解: 当椭圆的焦点在轴上时,,,得.由,得. 当椭圆的焦点在轴上时,,,得. 由,得,即. ∴满足条件的或. 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例: 1.若△ABC的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。 解: 顶点C到两个定点A,B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离,因此顶点C的轨迹为椭圆,并且2a=10,所以a=5,2c=8,所以c=4,所以b2=a2-c2=9,故顶点C的轨迹方程为+=1.又A、B、C三点构成三角形,所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为+=1(y≠0)答案: +=1(y≠0) 2.已知椭圆的标准方程是+=1(a>5),它的两焦点分别是F1,F2,且F1F2=8,弦AB过点F1,求△ABF2的周长. 因为F1F2=8,即即所以2c=8,即c=4,所以a2=25+16=41,即a=,所以△ABF2的周长为4a=4. 3.设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1: PF2=2: 1,求△PF1F2的面积. 解析: 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴PF1+PF2=2a=6.又PF1∶PF2=2∶1,∴PF1=4,PF2=2,由22+42= (2)2可知△PF1F2是直角三角形,故△PF1F2的面积为PF1·PF2=×2×4=4. 七、直线与椭圆的位置问题 例已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程. 分析一: 已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求. 解法一: 设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得 . 由韦达定理得. ∵是弦中点,∴.故得. 所以所求直线方程为. 解法二: 设过的直线与椭圆交于、,则由题意得 ①-②得.⑤ 将③、④代入⑤得,即直线的斜率为. 所求直线方程为. 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 分析: 由于,,则的取值范围为,,,分别进行讨论. 解: (1)当时,,,所给方程表示椭圆,此时,,,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0). (2)当时,,,所给方程表示双曲线,此时,,,,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0). (3),,时,所给方程没有轨迹. 说明: 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些值,画出其图形,体会一下几何图形所带给人们的美感. 二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。 例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点,且焦点在坐标轴上. (2),经过点(-5,2),焦点在轴上. (3)与双曲线有相同焦点,且经过点 解: (1)设双曲线方程为 ∵、两点在双曲线上, ∴解得 ∴所求双曲线方程为 说明: 采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在轴上,, ∴设所求双曲线方程为: (其中) ∵双曲线经过点(-5,2),∴ ∴或(舍去) ∴所求双曲线方程是 说明: 以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为: ∵双曲线过点,∴ ∴或(舍) ∴所求双曲线方程为 说明: (1)注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后,便有了以上巧妙的设法. (2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面. 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3已知双曲线的右焦点分别为、,点在双曲线上的左支上且,求的大小. 分析: 一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形. 解: ∵点在双曲线的左支上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 说明: (1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化. (2)题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢? 请读者试探索. 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例4已知、是双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,求的面积. 分析: 利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积. 解: ∵为双曲线上的一个点且、为焦点. ∴, ∵ ∴在中, ∵ ∴ ∴ ∴ 说明: 双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用. 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5 已知两点、,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹. 分析: 问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解: 根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵, ∴ ∴所求方程为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线. 例: 是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,且,求的值. 分析: 利用双曲线的定义求解. 解: 在双曲线中,,,故. 由是双曲线上一点,得. ∴或. 又,得. 说明: 本题容易忽视这一条件,而得出错误的结论或. 六、求与圆有关的双曲线方程。 例6 求下列动圆圆心的轨迹方程: (1)与⊙内切,且过点 (2)与⊙和⊙都外切. (3)与⊙外切,且与⊙内切. 分析: 这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果相切的⊙、⊙的半径为、且,则当它们外切时,;当它们内切时,.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程. 解: 设动圆的半径为 (1)∵⊙与⊙内切,点在⊙外 ∴,, ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,且有: ,, ∴双曲线方程为 (2)∵⊙与⊙、⊙都外切 ∴,, ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,且有: ,, ∴所求的双曲线的方程为: (3)∵⊙与⊙外切,且与⊙内切 ∴,, ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,且有: ,, ∴所求双曲线方程为: 说明: (1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法. (2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量. (3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标. w.w.w.k.s.5. 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方程。 例1指出抛物线
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- 圆锥曲线 知识点 总结 经典 例题
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