圆锥曲线的综合问题-分题型整理.doc
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圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系
将直线的方程代入曲线C的方程,消去y或者消去x,得到一个关于x(或y)的方程
(1)交点个数
①当a=0或a≠0,⊿=0时,曲线和直线只有一个交点;
②当a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;
③当⊿<0时,曲线和直线没有交点;
(2)弦长公式:
2.对称问题:
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:
①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上
3.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法
③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法
★重难点突破★
重点:
掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法;理解和掌握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点:
轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点:
综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求
②弦中点问题用“点差法”设而不求
2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中运用
问题1:
已知点为椭圆的左焦点,点,动点在椭圆上,则的最小值为
点拨:
设为椭圆的右焦点,利用定义将转化为,在结合图形,用平面几何的知识解决。
,当共线时最小,最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1:
交点个数问题
[例1]设抛物线的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析] 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(-2,0),
于是,可设过点Q(-2,0)的直线的方程为,
联立
其判别式为,可解得,应选C.
【名师指引】
(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:
一是判别式法;二是几何法
(2)直线与圆锥曲线有唯一交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)
(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对进行讨论,还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1已知圆与抛物线的准线相切,则的值等于()
A.B.C.D.
2.已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C;设,平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程;
(2)求m的取值范围.
3.求过点的直线,使它与抛物线仅有一个交点.
题型2:
与弦中点有关的问题
[例2]已知点A、B的坐标分别是,.直线相交于点,且它们的斜率之积为-2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点,求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解
[解析](Ⅰ)设,
因为,所以化简得:
(Ⅱ)设
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意
设直线的方程为
将代入得
…………
(1)…………
(2)
(1)-
(2)整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.
故设直线的方程为,将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入
(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
1.椭圆的弦被点所平分,求此弦所在直线的方程
2.已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:
x-2y=0上,求此椭圆的离心率
题型3:
与弦长有关的问题
[例3]已知直线被抛物线截得的弦长为,为坐标原点.
(1)求实数的值;
(2)问点位于抛物线弧上何处时,△面积最大?
【解题思路】用“韦达定理”求弦长;考虑△
面积的最大值取得的条件
[解析]
(1)将代入得,
由△可知,
另一方面,弦长AB,解得;
(2)当时,直线为,要使得内接△ABC面积最大,
则只须使得,
即,即位于(4,4)点处.
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
1.已知椭圆与直线相交于两点.
(1)当椭圆的半焦距,且成等差数列时,求椭圆的方程;
(2)在
(1)的条件下,求弦的长度;
2.已知点和,动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线交于D、E两点,求线段DE的长.
考点2:
对称问题
题型:
对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线,轨迹法为基本方法)
[例4]若直线过圆的圆心M交椭圆=1于A、B两点,若A、B关于点M对称,求直线L的方程.
[解析],设,则
又,,两式相减得:
,
化简得,
把代入得
故所求的直线方程为,即
所以直线l的方程为:
8x-9y+25=0.
【名师指引】要抓住对称包含的三个条件:
(1)中点在对称轴上
(2)两个对称点的连线与轴垂直
(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求范围
【新题导练】
1.已知抛物线上有一内接正△AOB,O为坐标原点.求证:
点A、B关于x轴对称;
2在抛物线上恒有两点关于直线对称,求k的取值范围.
2.若抛物线,总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称,求实数a的范围.
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
题型:
求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点.当椭圆的离心率满足,且(为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围.
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由,得
由,得
此时
由,得,∴
即,故
由,得
∴
由得,∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法:
几何方法:
充分利用图形的几何特征及意义,考虑几何性质解决问题
代数方法:
建立目标函数,再求目标函数的最值.
【新题导练】
1.已知P是椭圆C:
的动点,点关于原点O的对称点是B,若|PB|的最小值为,求点P的横坐标的取值范围。
2.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
3直线m:
y=kx+1和双曲线的左支交于A,B两点,直线过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求在y轴上的截距b的取值范围.
4已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,
求:
(1)求的最小值;
(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值.
5.定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。
点评:
解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关于x0的函数,这是一种“设而不求”的方法。
而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。
考点4定点,定值的问题
题型:
论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C:
上的两个动点,是椭圆上一定点,是其左焦点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证:
线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明:
设知
同理
①当,
从而有
设线段PQ的中点为,
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是轴,也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法:
(1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关;
(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值).
【新题导练】
1.已知抛物线C的方程为,则抛物线C恒过定点________________
2试证明双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
3.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,C在抛物线上,且BC//x轴。
证明直线AC经过原点O。
考点5曲线与方程
题型:
用几种基本方法求方程
[例1]已知抛物线C:
,若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合,试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程;
【解题思路】探求动点满足的几何关系,在转化为方程
[解析]由抛物线,得焦点,准线
(1)设,则,
椭圆中心,则∶=,
又设点B到l的距离为,∶=,
∴∶=∶,即,
化简得P点轨迹方程为
[名师指引]求曲线方程的方法主要有:
直接法、定义法、代入法、参数法,本题用到直接法,但题目条件需要转化
【新题导练】
1.点P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段OP中点,则点M的轨迹方程是_____________.
2.过双曲线C:
的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点,,求点M的轨迹方程.
3已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值,且的最小值为.求动点的轨迹方程;
4.已知抛物线C的对称轴与轴平行,顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位,则在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半;若将抛物线C向左平移1个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线C的方程.
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