圆锥曲线与向量的综合性问题.doc
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圆锥曲线与向量的综合性问题
一、常见基本题型:
在向量与圆锥曲线相结合的题目中,主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合运用。
(1)问题的条件以向量的形式呈现,间接的考查向量几何性质、运算性质,
例1、设,点在轴的负半轴上,点在轴上,且.
当点在轴上运动时,求点的轨迹的方程;
解:
(解法一),故为的中点.
设,由点在轴的负半轴上,则
又,
又,
所以,点的轨迹的方程为
(解法二),故为的中点.
设,由点在轴的负半轴上,则-
又由,故,可得
由,则有,化简得:
所以,点的轨迹的方程为
例2、已知椭圆的方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点重合,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点,且,求直线的方程;
解:
(Ⅰ)设椭圆的右焦点为,因为的焦点坐标为,所以
因为,则,
故椭圆方程为:
(Ⅱ)由(I)得,设的方程为()
代入,得,
设则,
所以直线的方程为
(2)所求问题以向量的形式呈现
例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点C(—1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使为常数?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
解:
(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴,
且
故所求方程为即,
(2)假设存在点M符合题意,设AB:
代入
得:
则
要使上式与无关,则有
解得,存在点满足题意。
例4、线段过y轴上一点,所在直线的斜率为,两端点、到y轴的距离之差为.
(Ⅰ)求出以y轴为对称轴,过、、三点的抛物线方程;
(Ⅱ)过该抛物线的焦点作动弦,过、两点分别作抛物线的切线,设其交点为,求点的轨迹方程,并求出的值.
解:
(Ⅰ)设所在直线方程为,抛物线方程为,
且,,不妨设,
即
把代入得
,
故所求抛物线方程为
(Ⅱ)设,
则过抛物线上、两点的切线方程分别是,
两条切线的交点的坐标为
设的直线方程为,代入得
故的坐标为 点的轨迹为
而
故
(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现
例5、在直角坐标系xOy中,长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动,.记点P的轨迹为曲线E.
(I)求曲线E的方程;
(II)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A、B两点,当点M在曲线E上时,求的值.
解:
(Ⅰ)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).
由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),
∴得
由||=+1,得m2+n2=(+1)2,
∴(+1)2x2+y2=(+1)2,
整理,得曲线E的方程为x2+=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).
设直线l的方程为y=kx+1,代入曲线E方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,
则x1+x2=-,x1x2=-.
y1+y2=k(x1+x2)+2=,
由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,
即+=1,解得k2=2.
这时x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x2+x2)+1=-,
(x+y)(x+y)=(2-x)(2-x)=4-2(x+x)+(x1x2)2
=4-2[(x1+x2)2-2x1x2]+(x1x2)2=,
cosá,ñ==-.
二、针对性练习
1.已知圆M:
及定点,点
P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,
且满足
(1)求点G的轨迹C的方程;
(2)过点K(2,0)作直线与曲线C交于A、B两点,
O是坐标原点,设,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角
线相等?
若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
解:
(1)由为PN的中点,且是PN的中垂线,
∴>
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,又
∴
(2)∵.四边形OASB为平行四边行,
假设存在直线1,使四边形OASB为矩形
若1的斜率不存在,则1的方程为
由>0.
这与相矛盾,∴1的斜率存在.
设直线1的方程
,化简得:
∴
∴
由∴
∴存在直线1:
或满足条件.
二、针对性练习
1.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于,
()两点,且.
(1)求该抛物线的方程;
(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值.
解:
(1)直线AB的方程是,与联立,
消去,得,所以,
由抛物线定义得:
,所以p=4,
抛物线方程为:
(2)由p=4,化简得,
从而,从而A(1,),B(4,)
设=,
又因为,即8(4),
即,解得
2、在平面直角坐标系内已知两点、,若将动点的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的倍后得到点,且满足.
(Ⅰ)求动点所在曲线的方程;
(Ⅱ)过点作斜率为的直线交曲线于、两点,且,又点关于原点的对称点为点,试问、、、四点是否共圆?
若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
解(Ⅰ)设点的坐标为,则点的坐标为,
依据题意,有
动点所在曲线的方程是
(Ⅱ)因直线过点,且斜率为,故有
联立方程组,消去,得
设、,可得,于是.
又,得即
而点与点关于原点对称,于是,可得点
若线段、的中垂线分别为和,,则有
联立方程组,解得和的交点为
因此,可算得
所以、、、四点共圆,且圆心坐标为半径为
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