嘉定区2015年高三数学文科二模试卷.doc
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2014学年上海市嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷(文)
考生注意:
本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.解答必须写在答题纸上的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分.
一.填空题(本大题有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知集合,,则________.
2.抛物线的焦点到准线的距离是______________.
3.若,其中、,是虚数单位,则_________.
4.已知函数,且有,若且,则的最大值是_______.
5.设等差数列满足,,的前项和的最大值为,则=__________.
6.若(),且,则
_______________.
7.方程在上的解为_____________.
主视图
左视图
俯视图
8.设变量满足约束条件则的最大值为_____________.
9.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为__________.
10.已知定义在上的单调函数的图像经过点、,若函数的
反函数为,则不等式的解集为.
11.现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这
张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________.
12.已知函数,若,关于的方程有三个不相等的实
数解,则的取值范围是__________.
13.在平面直角坐标系中,点列,,…,,…,满
足若,则_______.
14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,
得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列
,若,则____________.
二.选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.在△中,“”是“”的……………………………………()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向
量都可以唯一的表示成为实数),则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
17.设双曲线(,)的虚轴长为,焦距为,则双曲线的渐
近线方程为……………………………………………………………………………()
A.B.C.D.
18.在四棱锥中,,分别为侧棱,的中点,则四面体的体积与四棱锥的体积之比为……………………………………………()
A. B. C. D.
三.解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
在△中,已知,外接圆半径.
(1)求角的大小;
(2)若角,求△面积的大小.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,四棱锥的底面为菱形,平面,,,、分别为、的中点.
E
P
A
C
D
B
F
(1)求证:
平面;
(2)求三棱锥的体积.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分.
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻(时)的关系为,,其中是与气象有关的参数,且.若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作.
(1)令,,求的取值范围;
(2)求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知椭圆()的焦距为,且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆上上任意一点,求的最大值与最小值;
(3)试问在轴上是否存在一点,使得对于椭圆上任意一点,到的距离与到直线的距离之比为定值.若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知函数,其中.定义数列如下:
,,.
(1)当时,求,,的值;
(2)是否存在实数,使,,构成公差不为的等差数列?
若存在,请求出实数的值;若不存在,请说明理由;
(3)求证:
当时,总能找到,使得.
2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷(文)参考答案与评分标准
一.填空题(本大题有14题,每题4分,满分56分)
1.或2.3.4.
5.6.7.8.
9.10.11.
12.13.14.
二.选择题(本大题共有4题,每题5分,满分20分)
15.B16.D17.C18.C
三.解答题(本大题共有5题,满分74分)
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
(1)由题意,,
因为,所以,故,……(2分)
解得(舍),或.………………(5分)
所以,.………………(6分)
(2)由正弦定理,,得,所以.………(2分)
因为,由,得,…………(4分)
又,所以△的面积.…………(6分)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
E
P
A
C
D
B
F
(1)连结,由已知得△与△都是正三角形,
所以,,,………………(1分)
因为∥,所以,……………(2分)
又平面,所以,……(4分)
因为,所以平面.…(6分)
(2)因为,……(2分)
且,…………………………(4分)
所以,.………………(8分)
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分.
(1)当时,;………………(2分)
当时,因为,所以,……………………(4分)
即的取值范围是.……………………………………(5分)
(2)当时,由
(1),令,则,…………(1分)
所以………………(3分)
于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,
因为,,由,
所以,当时,;
当时,,
即………………………………(6分)
由,解得.………………………………(8分)
所以,当时,综合污染指数不超标.…………………………(9分)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
(1)已知,,,……………………(2分)
所以,……………………………………(3分)
所以椭圆的标准方程为.……………………(4分)
(2),,设,则,,(),……………………(2分)
因为,所以,,…(4分)
由,得的最大值为,最小值为.…………………………(6分)
(3)假设存在点,设,到的距离与到直线的距离之比为定值,则有,………………………………………………(1分)
整理得,……………………………………(2分)
由,得对任意的都成立.………………………………………………………………(3分)
令,
则由得①
由得②
由,得③
由①②③解得得,.…………………………(5分)
所以,存在满足条件的点,的坐标为.………………………(6分)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(1)因为,故,………………………………(1分)
因为,所以,…………(2分)
,…………(3分)
.…………(4分)
(2)解法一:
假设存在实数,使得,,构成公差不为的等差数列.
则得到,,.…(2分)
因为,,成等差数列,所以,…………3分
所以,,化简得,
解得(舍),.…………………………………(5分)
经检验,此时的公差不为0,
所以存在,使得,,构成公差不为的等差数列.…………(6分)
方法二:
因为,,成等差数列,所以,
即,…………………………………………(2分)
所以,即.
因为公差,故,所以解得.………(5分)
经检验,此时,,的公差不为0.
所以存在,使得,,构成公差不为的等差数列.…………(6分)
(3)因为,…………(2分)
又,所以令…………………………(3分)
由,,……,,
将上述不等式全部相加得,即,…………………(5分)
因此要使成立,只需,
所以,只要取正整数,就有.
综上,当时,总能找到,使得.
8
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