含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题.doc
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含参数的一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:
一、按项的系数的符号分类,即;
例1解不等式:
分析:
本题二次项系数含有参数,,故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解:
∵
解得方程两根
∴当时,解集为
当时,不等式为,解集为
当时,解集为
例2解不等式
分析因为,,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当时,解集为;当时,解集为
变式:
解关于的不等式
1、;3、ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)
二、按判别式的符号分类,即;
例3解不等式
分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解:
∵
∴当即时,解集为;
当即Δ=0时,解集为;
当或即,此时两根分别为,,显然,
∴不等式的解集为
例4解不等式
解因
所以当,即时,解集为;
当,即时,解集为;
当,即时,解集为R。
变式:
解关于的不等式:
三、按方程的根的大小来分类,即;
例5解不等式
分析:
此不等式可以分解为:
,故对应的方程必有两解。
本题
只需讨论两根的大小即可。
解:
原不等式可化为:
,令,可得:
∴当或时,,故原不等式的解集为;
当或时,,可得其解集为;
当或时,,解集为。
例6解不等式,
分析此不等式,又不等式可分解为,故只需比较两根与的大小.
解原不等式可化为:
,对应方程的两根为
,当时,即,解集为;当时,即,解集为
7、若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围。
(
【解析】 不等式可化为(4-a)x2-4x+1<0 ①,由于原不等式的解集中的整数恰有3个,所以,解得0<a<4,故由①得,又,所以解集中的3个整数必为1,2,3,所以3<≤4,解得<a≤
一题多解专题一:
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的两种解法
(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.
(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.
例1.设函数,对于满足1
【解析】法一:
当a>0时,,由x∈(1,4),f(x)>0得
或或
所以或或,所以或,即。
当a<0时,,解得a∈;
当a=0时,,f
(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得,实数a的取值范围是。
.
法二:
由f(x)>0,即,x∈(1,4),
则有在(1,4)上恒成立.
令,,
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立,只要即可.故a的取值范围为.
2.已知函数在区间(-∞,-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调递减,且b≥0.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设0 解析 (1)由题意知x=-2是该函数的一个极值点. ∵f′(x)=3x2+2bx+c,∴f′(-2)=0,即12-4b+c=0. 又f(x)在[-2,2]上单调递减,∴f′(x)=3x2+2bx+c在[-2,2]上恒有f′(x)≤0. ∴f′ (2)≤0,即12+4b+c≤0.∴12+4b+4b-12≤0. ∴b≤0,又b≥0,∴b=0,c=-12,f(x)=x3-12x+1. (2)∵f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 0 ∴f′(x)≤0,x∈[m-2,m].因此f(x)为[m-2,m]上的减函数, ∴对任意x1,x2∈[m-2,m]都有|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=f(m-2)-f(m) =-6m2+12m+16≤16m,∴m≥,即mmin=. 4
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- 参数 一元 二次 不等式 解法 成立 问题