向量法证明三点共线的又一方法及应用.doc
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向量法证明三点共线的又一方法及应用
蒋李萍2011年10月24日
平面向量既具有数量特征,又具有图形特征,学习向量的应用,可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题,有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.
原题已知,其中.求证:
、、三点共线
思路:
通过向量共线(如)得三点共线.
证明:
如图,由得,则
、、三点共线.
思考:
1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点具有灵活性;
2.反之也成立(证明略):
若、、三点共线,则存在唯一实数对、,满
足,且.揭示了三点共线的又一个性质;
3.特别地,时,,点为的中点,揭示了
中线的一个向量公式,应用广泛.
应用举例:
例1如图,平行四边形中,点是的中点,点在上,且.利用向量法证明:
、、三点共线.
思路分析:
选择点,只须证明,且.
证明:
由已知,又点在上,且,得
又点是的中点,
,即
而
、、三点共线.
点评:
证明过程比证明简洁.
例2如图,平行四边形中,,与相交于,求证:
..
思路分析:
可以借助向量知识,只须证明:
,而,又、、三点共线,存在唯一实数对、,且,使,从而得到与的关系.
证明:
由已知条件,,又、、三点共线,可设,则
又、、三点共线,则存在唯一实数对、,使,且.
又
根据①、②得
,解得
点评:
借助向量知识,充分运用三点共线的向量性质解决问题,巧妙、简洁.
练习题:
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- 关 键 词:
- 向量 证明 共线 又一 方法 应用