名校联盟新高一开学分班考试数学试题.doc

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2015年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

2015年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试

数学试题

本试卷包括三个大题，共6页，满分120分，考试时量90分钟。

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是

A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm2

2.一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有________个

A、45B、48C、50D、55

3.已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长为和，则与之间的函数图像大致是

ABCD

4.要使分式的值为0，你认为x可取得数是

A．

9

B．

±3

C．

﹣3

D．

3

　5.若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是

A．

B．

C．

D．

6.如图，点P（a，a）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA的面积是

A．

3

B．

4

C．

D．

7.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为

A．

B．

C．

D．

第6题图第7题图

8.如图2，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,3）,则不等式2x

A、B、C、D、

第8题图第9题图

9.如图3所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：

（1）b2-4ac>0

（2）c>1（3）2a-b<0（4）a+b+c<0,其中错误的有

A、1个 B、2个 C、3个D、4个

10．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）.记N（t）为□ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为

A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9

题序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.已知，则=_________。

12.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=________°.

13.如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=__________．

第15题图

（第12题图）

第13题图

14.下面是按一定规律排列的一列数：

，，，，…那么第n个数是______________．

15.如图，一个正比例函数图像与一次函数的图像相交于点P，则这个正比例函数的表达式是____________.

三、解答题（每小题12分，共60分）

16.

（1）计算：

。

（2）先化简，再求值：

，其中。

17.近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图．

组别

A

B

C

D

E

时间t（分钟）

t＜40

40≤t＜60

60≤t＜80

80≤t＜100

t≥100

人数

12

30

a

24

12

（1）求出本次被调查的学生数；

（2）请求出统计表中a的值；

（3）求各组人数的众数；

（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．

18.如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。

CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°

（1）求CD与AB之间的距离；

（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B，求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米

（参考数据：

，，，

，，）

19.如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．

（1）求OD、OC的长；

（2）求证：

△DOC∽△OBC；

（3）求证：

CD是⊙O切线．

20.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；

（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？

求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

21.如图10，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式。

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与相似？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

2015年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学参考答案

1.B2.A3.A4.D5.A6.D7.A8.A9.A10.C

11.112.4513.　20　14.　　15.y＝－2x

16.

（1）

（2）

17答：

[来源:

学科网]

解：

（1）12÷10%=120（人）；

（2）a=120﹣12﹣30﹣24﹣12=42；

（3）众数是12人；

（4）每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数是：

2400×=1560（人）．

18.解析：

19：

（1）解：

∵AD、BC是⊙O的两条切线，

∴∠OAD=∠OBC=90°，

在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，

根据勾股定理得：

OD==，OC==；

（2）证明：

过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，

∴四边形ABED为矩形，

∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=，

在Rt△EDC中，根据勾股定理得：

DC==，

∵===，

∴△DOC∽△OBC；

（3）证明：

过O作OF⊥DC，交DC于点F，

∵△DOC∽△OBC，

∴∠BCO=∠FCO，

∵在△BCO和△FCO中，

，

∴△BCO≌△FCO（AAS），

∴OB=OF，

则CD是⊙O切线．

20：

解：

（1）∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上，

∴，

解得．

∴二次函数的解析式为：

y=x2﹣6x+5．

（2）在y=x2﹣6x+5中，令y=﹣3，即x2﹣6x+5=﹣3，

整理得：

x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．

结合函数图象，可知当y＞﹣3时，x的取值范围是：

x＜2或x＞4．

（3）设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2．

∴M（﹣3，0），N（0，﹣6），

∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：

MN=3，

∴tan∠MNO==，sin∠MNO==．

设点C坐标为（x，y），则y=x2﹣6x+5．

过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．

过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，

在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，CF====x．

∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x．

在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y﹣x）．

∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x），

∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x2﹣6x+5，代入上式整理得：

CE=（x2﹣4x+11）=（x﹣2）2+，

∴当x=2时，CE有最小值，最小值为．

当x=2时，y=x2﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．

△ABC的最小面积为：

AB•CE=×2×=．

∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为．

21.解：

（1）由A（－2，0），B（-3，3），O（0，0）可得解析式：

（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知DE=AO=2，

若D在对称轴直线x=-1左侧，

则D横坐标为-3，代入抛物线解析式得D1（-3，3）

若D在对称轴直线x=-1右侧，

则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）

（3）存在，如图：

∵B（-3，3），C（-1，-1），

根据勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2．

∴△BOC是直角三角形且.

设P（m，）

当P在x轴下方，则-2

若，则，

∴m=-2（舍）或者m=-3（舍）

若，则，

∴m=-2（舍）或者m=，

∴P1（，）[来源:

Z&xx&k.Com]

当P在x轴上方，则m<-2,

若，则，

∴m=-2（舍）或者m=-3，

∴P2（-3，3）

若，则，

∴m=-2（舍）或者m=（舍）

综上所述：

符合条件的P有两个点：

P1（，），P2（-3，3）

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