合情推理习题.doc

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单独成册

[学业水平训练]

1．下列说法正确的是（　　）

A．由合情推理得出的结论一定是正确的

B．合情推理必须有前提有结论

C．合情推理不能猜想

D．合情推理得出的结论不能判断正误

解析：

选B.根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．

2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）

A．三角形 B．梯形

C．平行四边形 D．矩形

答案：

C

3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（　　）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等　②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等　③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．① B．①②

C．①②③ D．③

解析：

选C．正四面体的面（或棱）可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角（或共顶点的两棱的夹角）可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．

4．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝－sinx，由归纳推理可得：

若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）等于（　　）

A．f（x） B．－f（x）

C．g（x） D．－g（x）

解析：

选D．由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x）＝－g（x）．

5．观察下列各式：

72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72015的末两位数字为（　　）

A．01 B．43

C．07 D．49

解析：

选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，

所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.

又2015＝4×503＋3，

所以72015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.

6．设f（x）＝，x1＝1，xn＝f（xn－1）（n≥2），则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.

解析：

x2＝f（x1）＝＝，x3＝f（x2）＝＝＝，x4＝f（x3）＝＝，

∴xn＝.

答案：

，，　

7．（2014·晋中高二检测）在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．

解析：

根据平面几何与立体几何中的类比规律，边类比成面，三角形类比成四面体，所以正三角形类比成正四面体．故类比猜想在空间中有：

正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．

答案：

正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值

8．（2014·银川高二检测）已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6（a，b∈R），则a＋b＝________.

解析：

根据题意，由于＝2，＝3，＝4，…，那么可知＝6，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.

答案：

41

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.

解：

∵Sn＝n2·an（n≥2），a1＝1，

∴S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝＝.

S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝＝＝.

S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝＝＝.

∴猜想an＝.

10.如图所示，在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想．

解：

如图所示，在四面体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，

α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.

[高考水平训练]

1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

图

（1）

图

（2）

他们研究过图

（1）中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图

（2）中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）

A．289 B．1024

C．1225 D．1378

解析：

选C．记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.

同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.

将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.

2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

解析：

∵两个正三角形是相似的三角形，

∴它们的面积之比是相似比的平方．

同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.

答案：

1∶8

3．我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？

（1）类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．

（2）若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．

解：

（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．

（2）由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝

其前n项和公式Sn＝

4．（2014·聊城高二检测）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°

④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°

⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．

（2）根据

（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

解：

（1）选择②式计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.

（2）sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝.

证明：

sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）

＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα（cos30°·cosα＋sin30°sinα）

＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.