反证法练习题.doc
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反证法练习题.doc
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2.2.2 反证法
1.实数a,b,c不全为0等价于
( ).
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
解析 不全为0即至少有一个不为0,故选D.
答案 D
2.下列命题错误的是
( ).
A.三角形中至少有一个内角不小于60°
B.四面体的三组对棱都是异面直线
C.闭区间[a,b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D.设a、b∈Z,若a、b中至少有一个为奇数,则a+b是奇数
解析 a+b为奇数⇔a、b中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误.
答案 D
3.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数
( ).
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
解析 若a,b,c都小于2,则a+b+c<6①,
而a+b+c=x++y++z+≥6②,
显然①,②矛盾,所以C正确.
答案 C
4.命题“△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该是________.
答案 a≤b
5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________.
答案 至少有两个内角是直角
6.设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证:
AC与平面SOB不垂直.
证明 假设AC⊥平面SOB,如图,
∵直线SO在平面SOB内,
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圆O.
这显然出现矛盾,所以假设不成立,即AC与平面SOB不垂直.
7.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则
( ).
A.a,b都与l相交
B.a,b中至少有一条与l相交
C.a,b中至多有一条与l相交
D.a,b都不与l相交
解析 逐一从假设选项成立入手分析,易得B是正确选项,故选B.
答案 B
8.以下各数不能构成等差数列的是
( ).
A.3,4,5 B.,,
C.3,6,9 D.,,
解析 假设,,成等差数列,则2=+,即12=7+2,此等式不成立,故,,不成等差数列.
答案 B
9.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.
答案 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角
10.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a、b为实数)”,其反设为________.
解析 “a,b全为0”即是“a=0且b=0”,因此它的反设为“a≠0或b≠0”.
答案 a,b不全为0
11.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f
(1)均为奇数.求证:
f(x)=0无整数根.
证明 设f(x)=0有一个整数根k,则
ak2+bk=-c.①
又∵f(0)=c,f
(1)=a+b+c均为奇数,
∴a+b为偶数,当k为偶数时,显然与①式矛盾;
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),
则ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)为偶数,也与①式矛盾,故假设不成立,所以方程f(x)=0无整数根.
12.(创新拓展)已知函数f(x)=,如果数列{an}满足a1=4,an+1=f(an),求证:
当n≥2时,恒有an<3成立.
证明 法一(直接证法) 由an+1=f(an)得an+1=,
∴=-+=-22+≤,
∴an+1<0或an+1≥2;
(1)若an+1<0,则an+1<0<3,
∴结论“当n≥2时,恒有an<3”成立;
(2)若an+1≥2,
则当n≥2时,有an+1-an=-an==≤0,
∴an+1≤an,即数列{an}在n≥2时单调递减;
由a2===<3,
可知an≤a2<3,在n≥2时成立.
综上,由
(1)、
(2)知:
当n≥2时,恒有an<3成立.
法二 (用反证法) 假设an≥3(n≥2),
则由已知得an+1=f(an)=,
∴当n≥2时,==·≤=<1,(∵an-1≥3-1),
又易证an>0,∴当n≥2时,an+1 ∴当n>2时,an 而当n=2时,a2===<3, ∴当n≥2时,an<3; 这与假设矛盾,故假设不成立, ∴当n≥2时,恒有an<3成立.
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