双曲线经典例题讲解.doc
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双曲线经典例题讲解.doc
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第一部分双曲线相关知识点讲解
一.双曲线的定义及双曲线的标准方程:
1双曲线定义:
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹((为常数))这两个定点叫双曲线的焦点.
要注意两点:
(1)距离之差的绝对值.
(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程:
和(a>0,b>0).这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是:
如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:
⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解.
二.双曲线的内外部:
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为渐近线方程:
.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
四.双曲线的简单几何性质
-=1(a>0,b>0)
⑴范围:
|x|≥a,y∈R
⑵对称性:
关于x、y轴均对称,关于原点中心对称
⑶顶点:
轴端点A1(-a,0),A2(a,0)
⑷渐近线:
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上)
④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是
六.弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=。
第二部分典型例题分析
题型1:
运用双曲线的定义
例1.如图所示,为双曲线的左
焦点,双曲线上的点与关于轴对称,
则的值是()
A.9B.16C.18D.27
[解析],选C
练习:
设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:
|PF2|=3:
2,则△PF1F2的面积为 ()
A. B.12 C. D.24
解析:
①
又②
由①、②解得
直角三角形,
故选B。
题型2求双曲线的标准方程
例2已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).求双曲线C的方程.
解:
设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),∴-=1.
又∵a2+b2=
(2)2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
练习:
1已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为;
解:
设双曲线方程为,
当时,化为,,
当时,化为,,
综上,双曲线方程为或
2.已知点,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为
A.B.
C.(x>0)D.
[解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B
题型3与渐近线有关的问题
例3.焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是
A.B.C.D.
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B
练习:
过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是
解:
设所求双曲线为点(1,3)代入:
.代入
(1):
即为所求.
题型4弦中点问题——设而不求法
例4.双曲线的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为()
A.B.C.D.
解:
设弦的两端分别为.则有:
.
∵弦中点为(2,1),∴.故直线的斜率.
则所求直线方程为:
,故选C.
练习:
1.在双曲线上,是否存在被点M(1,1)平分的弦?
如果存在,求弦所在的直线方程;如不存在,请说明理由.
【错解】假定存在符合条件的弦AB,其两端分别为:
A(x1,y1),B(x2,y2).那么:
.
∵M(1,1)为弦AB的中点,
∴
故存在符合条件的直线AB,其方程为:
.
这个结论对不对呢?
我们只须注意如下两点就够了:
其一:
将点M(1,1)代入方程,发现左式=1-<1,故点M(1,1)在双曲线的外部;其二:
所求直线AB的斜率,而双曲线的渐近线为.这里,说明所求直线不可能与双曲线相交,当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
这里,故方程
(2)无实根,也就是所求直线不合条件.
结论;不存在符合题设条件的直线.
2.已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?
若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。
解:
设符合题意的直线存在,并设、
则﹙1﹚得因为A(1,1)为线段PQ的中点,所以将(4)、(5)代入(3)得
若,则直线的斜率,其方程为
得根据,说明所求直线不存在。
3.已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P(6,6)
(1)求双曲线方程
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论
解
(1)如图,设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),∴其重心G的坐标为(2,2)
假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN,设M(x1,y1),N(x2,y2)则有
,∴kl=∴l的方程为
y=(x-2)+2,由,消去y,整理得x2-4x+28=0∵Δ=16-4×28<0,∴所求直线l不存在
题型5综合问题
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为,右顶点为.
(Ⅰ)求双曲线C的方程
(Ⅱ)若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点),求k的取值范围
解
(1)设双曲线方程为由已知得,再由,得
故双曲线的方程为.
(2)将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且.①设,则
,由得,
而
.
于是,即解此不等式得②
由①+②得
故的取值范围为
2.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果且曲线E上存在点C,使求。
解:
(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,且,易知,故曲线的方程为
设,由题意建立方程组
消去,得,有
解得
∵
依题意得,整理后得
∴或,但∴
故直线的方程为
设,由已知,得
∴,
又,
∴点,将点的坐标代入曲线的方程,得得,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意
∴,点的坐标为,到的距离为
∴的面积
8
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