双曲线期末复习单元测试题.doc
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河北定兴中学2010—2011学年第一学期
双曲线期末复习单元测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.双曲线的焦距为()
A.3 B.4 C.3 D.4
2.“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则
()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
5.与曲线共焦点,而与曲线共渐近线的双曲线方程为()
A.B.C.D.
6.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=,则双曲线方程为()
A.-=1 B.C. D.
7.如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是()
A. B. C. D.
8.(理)若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是()
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+)
(文)双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
9.已知双曲线的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于()
A. B. C. D.
10.连接双曲线与的四个顶点构成的四边形的面积为S1,连接它们
的的四个焦点构成的四边形的面积为S2,则S1:
S2的最大值是 ()
A.2 B.1 C. D.
11.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()
A.B.C.D.
12.为双曲线的右支上一点,,分别是圆和上的点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.若曲线表示双曲线,则的取值范围是
14.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.
15.过双曲线的右顶点为A,右焦点为F。
过点F平行双曲线的一
条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为_______。
16.方程所表示的曲线为C,有下列命题:
①若曲线C为椭圆,则;
②若曲线C为双曲线,则或;
③曲线C不可能为圆;
④若曲线C表示焦点在上的双曲线,则。
以上命题正确的是。
(填上所有正确命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)已知双曲线经过点M(),且以直线x=1为右准线.
(1)如果F(3,0)为此双曲线的右焦点,求双曲线方程;
(2)如果离心率e=2,求双曲线方程.(12分)
18.(本题满分12分)设双曲线的方程为,A、B为其左、右两个顶点,P是双曲线上的任一点,引,AQ与BQ相交于点Q。
(1)求Q点的轨迹方程;
(2)设
(1)中所求轨迹为,、的离心率分别为、,当时,求的取值范围。
19.(本小题满分12分)如图,在以点为圆心,为直径的半圆中,,是半圆弧上一点,,曲线是满足为定值的动点的轨迹,且曲线过点.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与曲线相交于不同的两点、.
若△的面积等于,求直线的方程。
.
20(本小题满分12分)双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
O
F
x
y
P
M
第21题图
H
21.(本题满分12分)如图,F为双曲线C:
的右焦点。
P为双曲线C右支上一点,且位于轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点。
已知四边形为平行四边形,。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式;
(Ⅱ)当时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若,求此时的双曲线方程。
22.(本小题满分14分)已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是.
(I)证明为常数;
(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.D解:
由双曲线方程得,于是,故选D。
2.A解:
“双曲线的方程为”“双曲线的准线方程为”
但是“准线方程为”“双曲线的方程”,
反例:
。
故选A。
3.D解:
取顶点,一条渐近线为
故选D。
4.B解:
如图在中,
,
,故选B。
5.A解:
由双曲线与曲线共焦点知焦点在轴上,可排除B、D,与曲线共渐近线可排除C,故选A。
6.C解:
,所以,故选C。
7.A解:
由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的
第二定义知点到双曲线右准线的距离是,双曲线的右准线方程是,
故点到轴的距离是.选A.
8.(理)B 解:
或(舍去),故选B.
(文)C 解:
而双曲线的离心率故选C.
9.C 解法一:
∵双曲线中∴
∵∴
作边上的高,则
∴
∴的面积为故选C。
解法二:
∵双曲线中∴
设,则由得
又∵为的右支上一点∴∴
∴即
解得或(舍去)
∴
∴的面积为故选C。
10.C ,∴,故选C。
11.A 解:
对于椭圆,,曲线为双曲线,,标准方程为:
。
故选A。
12.B 解:
设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时
|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9,故选B。
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13解:
。
14.解:
如图由题设,
,所以双曲线方程为
15.解:
双曲线的右顶点坐标,右焦点坐标
,设一条渐近线方程为,
建立方程组,得交点纵坐标,从而。
16.②④解:
若曲线C为椭圆,则,∴①错误;
若曲线C为双曲线,则,∴②正确;
当时曲线C方程为,表示圆,∴③错误;
若曲线C表示焦点在上的双曲线,则,∴④正确。
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.解:
(1)设P(x,y)为所求曲线上任意一点,由双曲线定义得
=
化简整理得
(2)
因此,不妨设双曲线方程为,
因为点M()在双曲线上,所以,得,
B
P
O
A
Q
故所求双曲线方程为
18.解:
(1)设
∵
∴,∵,∴,
∴,化简得:
,
经检验,点不合题意,∴点Q的轨迹方程为
(2)由
(1)得的方程为,
,
∵,∴,∴。
19.解:
(Ⅰ)解法1:
以为原点,所在直线分别为轴、轴,建立平面直角坐标系,则,,依题意得
∴曲线是以原点为中心,为焦点的双曲线.
设实半轴长为,虚半轴长为,半焦距为,
则,,∴曲线的方程为.
解法2:
同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得.
∴曲线是以原点为中心,为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为>0,b>0).
则由解得,∴曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1:
依题意,可设直线的方程为,代入双曲线的方程并整理,
得.
∵直线与双曲线相交于不同的两点,
∴
∴.
设,则由①式得于是
=
而原点到直线的距离,
∴
若,即解得,
满足②.故满足条件的直线有两条,其方程分别为和
解法2:
依题意,可设直线的方程为,代入双曲线C的方程并整理,
得. ①
∵直线与双曲线C相交于不同的两点,
∴
∴ ②
设,则由①式得
. ③
当在同一支上时(如图1所示),
;
当在不同支上时(如图2所示),
综上得,于是
由及③式,得.
若,即,解得,满足②.
故满足条件的直线有两条,方程分别为和
20.解:
(Ⅰ)设,,
由勾股定理可得:
得:
,,
由倍角公式,解得,则离心率.
(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立
将,代入,化简有
将数值代入,有,解得
故所求的双曲线方程为。
21.解:
∵四边形是平行四边形,∴,作双曲线的右准线交PM于H,则,又,。
(Ⅱ)当时,,,,双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:
,
又,由得:
,解得,则,所以为所求。
22.解:
由条件知,设,.
(I)当与轴垂直时,可设点的坐标分别为,,
此时.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入,有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
综上所述,为常数.
(II)解法一:
设,则,,
,,由得:
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
解法二:
同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时,由(I)有.…………………②
.………………………③
由①、②、③得. …………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时,,由④、⑤得,,将其代入⑤有
.整理得.
当时,点的坐标为,满足上述方程.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
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