双曲线及其标准方程练习题.doc
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双曲线及其标准方程练习题.doc
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课时作业(十)
一、选择题
1.方程-=1表示双曲线,则m的取值范围( )
A.-2<m<2 B.m>0
C.m≥0 D.|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线,∴(2+m)(2-m)>0.
∴-2<m<2.
【答案】 A
2.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤-3) D.-=1(x≥3)
【解析】 由题意知,轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,
∴P点的轨迹方程为-=1(x≥3).
【答案】 D
3.(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点,两个焦点F1,F2分别为(,0)和(-,0),点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
【解析】 由
⇒(|PF1|-|PF2|)2=16,
即2a=4,解得a=2,又c=,所以b=1,故选C.
【答案】 C
4.已知椭圆方程+=1,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.3
【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a=1,c=2,所以双曲线的离心率为e===2.
【答案】 C
二、填空题
5.设点P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是其左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=________.
【解析】 由双曲线的标准方程得a=3,b=4.
于是c==5.
(1)若点P在双曲线的左支上,
则|PF2|-|PF1|=2a=6,∴|PF2|=6+|PF1|=16;
(2)若点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=6,
∴|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.
综上,|PF2|=16或4.
【答案】 16或4
6.(2014·河南省洛阳高一月考)已知F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|PF1|-|PF2|=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支,则m可以是下列数据中的________.(填序号)
①2;②-1;③4;④-3.
【解析】 设双曲线的方程为-=1,则c=3,∵2a<2c=6,∴|2m-1|<6,且|2m-1|≠0,∴- 【答案】 ①② 7.(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C: -=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于________. 【解析】 由方程-=1知a2=16,b2=9,即a=4,c==5. 在△ABP中,利用正弦定理和双曲线的定义知,====. 【答案】 三、解答题 8.求与双曲线-=1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程. 【解】 ∵双曲线-=1的焦点在x轴上. 依题意,设所求双曲线为-=1(a>0,b>0). 又两曲线有相同的焦点, ∴a2+b2=c2=4+2=6. ① 又点P(2,1)在双曲线-=1上, ∴-=1. ② 由①、②联立,得a2=b2=3, 故所求双曲线方程为-=1. 9.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型. 【解】 (1)当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线; (2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆; (3)当k<0时,方程为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线; (4)当0<k<1时,方程为+=1,表示焦点在x轴上的椭圆; (5)当k>1时,方程为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆. 1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 ( ) A.1B.C.2D.3 【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上,且 a>0.∵4-a2=a+2,∴a2+a-2=0, ∴a=1或a=-2(舍去).故选A. 【答案】 A 2.(2014·桂林高二期末)已知F1、F2为双曲线C: x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( ) A.2B.4C.6D.8 【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点, 在双曲线x2-y2=1中,a=1,b=1,c=, 则|PF1|-|PF2|=2a=2,|F1F2|=2, ∵|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2, ∴8=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·, ∴8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, ∴8=4+|PF1||PF2|, ∴|PF1||PF2|=4.故选B. 【答案】 B 3.(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线-=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上的一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN|-|MO|=________. 【解析】 设F′是双曲线的右焦点,连PF′(图略),因为M,O分别是FP,FF′的中点,所以|MO|=|PF′|, 又|FN|==5,且由双曲线的定义知|PF|-|PF′|=8,故|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-|PF′|=(|PF|-|PF′|)-|FN|=×8-5=-1. 【答案】 -1 4.已知双曲线-=1的两焦点为F1、F2. (1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离; (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h, ·=0, 则MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义知,m-n=2a=8, ① 又m2+n2=(2c)2=80, ② 由①②得m·n=8, ∴mn=4=|F1F2|·h, ∴h=. (2)设所求双曲线C的方程为 -=1(-4<λ<16), 由于双曲线C过点(3,2), 所以-=1, 解得λ=4或λ=-14(舍去). ∴所求双曲线C的方程为-=1.
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- 双曲线 及其 标准 方程 练习题