参数方程与极坐标(精华版).doc
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参数方程与极坐标
参数方程知识回顾:
一、定义:
在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数,即 ,其中,t为参数,并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数.
二、二次曲线的参数方程
1、圆的参数方程:
中心在(x0,y0),半径等于r的圆:
(为参数,的几何意义为圆心角),
特殊地,当圆心是原点时,
注意:
参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
Eg1:
已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求:
(1)x2+y2的最值;
(2)x+y的最值;(3)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。
Eg2:
将下列参数方程化为普通方程
(1)x=2+3cos
(2)x=sin(3)x=t+
y=3siny=cosy=t2+
总结:
参数方程化为普通方程步骤:
(1)消参
(2)求定义域
2、椭圆的参数方程:
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆:
(为参数,的几何意义是离心角,如图角AON是离心角)
注意:
离心率和离心角没关系,如图,分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,M点的轨迹是椭圆,中心在(x0,y0)椭圆的参数方程:
Eg:
求椭圆=1上的点到M(2,0)的最小值。
3、双曲线的参数方程:
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线:
(为参数,代表离心角),中心在(x0,y0),焦点在x轴上的双曲线:
4、抛物线的参数方程:
顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线:
(t为参数,p>0,t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数)
直线方程与抛物线方程联立即可得到。
三、一次曲线(直线)的参数方程
过定点P0(x0,y0),倾角为的直线,P是直线上任意一点,设P0P=t,P0P叫点P到定点P0的有向距离,在P0两侧t的符号相反,直线的参数方程 (t为参数,t的几何意义为有向距离)
说明:
①t的符号相对于点P0,正负在P0点两侧
②|P0P|=|t|
直线参数方程的变式:
,但此时t的几何意义不是有向距离,只有当t前面系数的平方和是1时,几何意义才是有向距离,所以,将上式进行整理,得
,让作为t,则此时t的几何意义是有向距
离。
Eg:
求直线x=-1+3t
y=2-4t,求其倾斜角.
极坐标知识回顾:
一、定义:
在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
练习:
在同一直角坐标系中,画出以下四个点
A(1,)B(2,)C(3,-)
思考:
上述点关于极轴以及极点的对称点
说明:
(1)极坐标有四个要素:
①极点;②极轴;③长度单位,即极径;④角度单位及它的方向,即极角.
(2)在极坐标系下,一对有序实数、对应唯一点P(,),但平面内任一个点P的极坐标不唯一,因为具有周期.
(3)如无特殊要求,则极径取正值.
直角坐标与极坐标的互化:
直角坐标(x,y)极坐标(,)
=
tan=
极坐标(,)直角坐标(x,y)
x=
y=
练习1:
将下列直角坐标化为极坐标
A(1,-1)B(1,π)
练习2:
将下列极坐标化为直角坐标
A(2,)B(1,2)
练习3:
分别求下列条件中AB中点的极坐标
(1)(4,)(6,-);
(2)(4,)(6,)
二、直线的极坐标方程
⑴或+π⑵⑶
⑷⑸
三、圆的极坐标方程
⑴⑵⑶
⑷⑸
四、圆锥曲线统一方程(椭圆、抛物线、双曲线)
设=P
,
其中,当0
考点一:
直线参数方程中参数的意义.
1.已知直线经过点,倾斜角,
(1)写出直线的参数方程。
(2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。
解:
(1)直线的参数方程为,即
(2)把直线代入得
,则点到两点的距离之积为
2.过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,求的值及相应的的值。
解:
设直线为,代入曲线并整理得
则所以当时,即,的最小值为,此时。
3.直线被圆截得的弦长为.
【解析】:
,把直线代入
得
,弦长为
4.直线和圆交于两点,则的中点坐标为________
解:
,得,
中点为
考点二:
用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定
1.直线与圆相切,则_______________。
2.在极坐标系中,已知圆与直线相切,求实数的值。
考点三:
用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题
1.在极坐标系中,曲线 与 的交点的极坐标为______.
2.已知两曲线参数方程分别为和,它们的交点极坐标为.
考点四:
用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题
一、
1.求直线和直线的交点的坐标,及点与的距离。
2.已知直线与直线相交于点,又点,则_______。
3.直线被圆截得的弦长为______________。
二、距离最大最小问题
4.在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离的最小值。
解:
设椭圆的参数方程为,
当时,,此时所求点为。
5.点在椭圆上,求点到直线的最大距离和最小距离。
解:
设,则即,
当时,;当时,。
考点五:
极坐标方程与参数方程混合
1.在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数)。
在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为。
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线交于点A、B,若点P的坐标为,求|PA|+|PB|。
【解析】(Ⅰ)由得即
(Ⅱ)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得,
即由于,故可设是上述方程的两实根,
所以故由上式及t的几何意义得:
|PA|+|PB|==。
2. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),M为上的动点,P点满足,点P的轨迹为曲线.
(I)求的方程;
(II)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为A,与的异于极点的交点为B,求|AB|.
解:
(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上,所以
即
从而的参数方程为(为参数)
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为,
射线与的交点的极径为。
所以.
3.已知直线C1:
(t为参数),圆C2:
(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解:
(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0),(,-).
(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
(α为参数).
P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=.故P点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.
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