初三数学圆的复习与整理Word文档格式.docx
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(2)弦、弧、圆心角、圆周角
弦:
连接圆上任意两点的叫做弦.
直径:
经过的弦叫做直径.
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
半圆:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
优弧:
大于的弧叫做优弧;
劣弧:
小于的弧叫做劣弧.
圆心角:
顶点在的角叫做圆心角.
圆周角:
顶点在,并且两边都与圆的角叫圆周角.
(二)圆的有关性质
(1)圆是轴对称图形,任何一条所在直线都是它的对称轴,圆也是中心对称图形,对称中心是.
(2)垂径定理:
①垂直于弦的直径弦,并且平分弦所对的;
②平分弦(不是直径)的垂直于,并且平分弦所对的.
(3)弧、弦、圆心角之间的关系
①在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也;
②同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量,它们所对应的其余各组量也.
(4)圆周角定理及推论
圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的,
都等于这条弧所对的
推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是,90°
的圆周角所对的弦是.
知识点二:
与圆有关的位置关系
(一)点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
(1)点P在圆外⇔r;
(2)点P在圆上⇔r;
(3)点P在圆内⇔r.
(二)直线和圆的位置关系
(1)
(2)(3)
相交相切相离
直线和圆的位置关系有三种:
相交、相切、相离
直线和圆有个公共点,我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的.
直线和圆有个公共点,我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的,这个点叫做.
直线和圆公共点,我们说这条直线和圆相离.
(1)直线和圆公共点的个数:
①直线与圆相交⇔
②直线与圆相切⇔
③直线与圆相离⇔
(2)d与r的关系:
设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d,则有:
①直线与圆相交⇔;
②直线与圆相切⇔;
③直线与圆相离⇔(三)切线的判定和性质
(1)切线长的概念:
经过圆外一点作圆的,这点和之间的长,叫做这点到圆的切线长;
(2)切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条,它们的切线长,这一点和圆心的连线平分两条切线的.
(四)圆和圆的位置关系
(2)内含
(5)外切(4)内切
圆和圆的位置关系有五种:
外离、内含、相交、内切、外切
(1)两圆公共点的个数:
①两圆外离⇔公共点
②两圆内含⇔公共点
③两圆相交⇔
④两圆外切⇔
⑤两圆内切⇔
(2)圆心距、半径及两圆的位置关系
设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d,则
①两圆外离⇔;
②两圆内含⇔;
③两圆相交⇔R+r;
④两圆外切⇔;
⑤两圆内切⇔.
知识点三:
圆与正多边形
(一)三角形的外接圆和内切圆
(1)不在上的个点确定一个圆.
(2)三角形的外接圆:
经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做三角形.三角形外接圆的圆心是三角形三条边
.
(3)三角形的内切圆:
与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做三角形.三角形内切圆的圆心是三角形三条的交点,叫做三角形的.
(二)圆与正多边形
顺次连接圆上的n点得到的多边形是正n边形.
(1)一个正多边形的各个顶点都在圆上,这个圆是这个正多边形的圆;
把一个正多边形的外接圆的叫做这个正多边形的中心;
外接圆的
叫做正多边形的半径;
正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的
角;
中心到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距.
(2)圆内接四边形的对角.
(3)圆内接正n边形都是图形,有条对称轴.圆内接正2n边形是
图形,对称中心是正多边形的
(4)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,它们是圆.
(5)常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系:
设正n边形的半径为r,边心距为d.
(1)圆内接正三角形中,r=或d=r;
(2)圆内接正四边形中,r=d或d=r;
(3)圆内接正六边形中,d=r.
知识点四:
与圆有关的计算
(一)弧长公式:
在半径为R的圆中,n°
的圆心角所对的弧长为l=...................................
(二)扇形的定义:
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.在半径为R,l为扇形的弧长,n°
的圆心角所对的扇形的周长:
C=....................................扇形的面积:
S1
扇形=....................................=.
2...........................
(三)圆锥
(1)连接圆锥上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形,若l为圆锥母线长,r为底面半径,则
圆锥的母线l=扇形的半径R;
圆锥底面圆周长2πr=扇形弧长.圆锥的侧面积:
S侧=...............................
圆锥的全面积:
S全=S底+S侧=...................................................
经典例题-自主学习
考点一:
例1.有下列四个命题:
①直径是弦;
②经过三个点一定可以作圆;
③三
角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;
④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
考点:
本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念.
例2.下列判断中正确的是()
A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
垂径定理.
例3.如图,在两半径不同的同心圆中,∠AOB=∠A′OB′=60°
,则()
A.AB=A'
B'
B.AB>
A'
C.AB的度数=A'
的度数D.AB的长度=A'
的长度
例4.如图,已知圆心角∠AOB的度数为100°
,则圆周角∠ACB的度数是()
A.80°
B.100°
C.
(2)120°
D.130°
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,圆内接四边形的对角互补.
总结升华:
举一反三:
【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧),跨度为24米,拱的半径
为13米,则拱高为
思路点拨:
本题可用几何语言叙述为:
如图,AB为⊙O的弦,CD为拱高,AB=24米,半径OA=13米,求拱高CD
的长.
解析:
【变式2】如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=15°
,则∠BAD=°
C
同弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角是90°
AB是直径,则∠ADB=90°
,∠ACD=∠ABD=15°
,可求得∠BAD.解析:
【变式3】如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,且AE=1cm,EB=5cm,
∠DEB=60°
,求CD的长.
因为AE=1cm,EB=5cm,所以OE=1
2(1+5)-1=2(cm),半径等
于3cm.在Rt△OEF中可求EF的长,再求OF的长,连结OD,利用勾股定理求得FD,可得CD的长.
考点二:
例5.圆心O与直线AB上一点的距离等于半径,则直线AB与⊙O的位置关系是()
A.相离B.相切C.相交D.相切或相交
直线和圆的位置关系.
例6.如图,AB、AC是⊙O的切线,将OB延长一倍至D,若∠DAC=60°
,则∠D=.
例7.若两圆半径分别为R和r(R>
r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd,则
两圆的位置关系为()
A.内切B.内切或外切C.外切D.相交
圆和圆位置关系的判定.
例8.OA平分∠BOC,P是OA上任一点,P不与点O重合,且以P为圆
心的圆与OC相离,那么圆P与OB的位置关系是()
A.相离B.相切C.相交D.不确定
例9.△ABC的三边长分别为a、b、c,它的内切圆的半径为r,则△ABC的面积为()
A.1
2(a+b+c)rB.2(a+b+c)C.1
3(a+b+c)rD.(a+b+c)r
内心到三角形三边的距离相等.
举一反三:
【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交,则这两圆的圆心距d的取值范围是()
A.0<d<3rB.r<d<3rC.r≤d<3rD.r≤d≤3r考点:
相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.
【变式2】如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点
E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
角平分线的性质和切线的性质.
【变式3】在射线OA上取一点A,使OA=4cm,以A为圆心,作一直径
为4cm的圆,问:
过O的射线OB与OA所夹的锐角α取怎样的值时,⊙A与OB
(1)相离;
(2)相切;
(3)相交.
直线与圆的位置关系的判定.
判定直线与圆的位置关系,主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较:
设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d,则有:
(1)直线与圆相交⇔d<r;
(2)直线与圆相切⇔d=r;
(3)直线与圆相离⇔d>r
【变式4】⊙O2和⊙O1相交于点A、B,它们的半径分别为2和,公共
弦AB长为2,若圆心O1、O2在AB的同侧,则∠O1AO2.
1O2
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
【变式5】⊙O2和⊙O1相交于点A、B,它们的半径分别为2和2,公共
弦AB长为2,若圆心O1、O2在AB的同侧,则O1O2.
相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.解析:
【变式6】⊙O2和⊙O1相交于点A、B,它们的半径分别为2和2,公共弦AB长为2,则O1O2
相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.思路点拨:
分两种情况:
1、圆心O1、O2在AB的同侧,如图1;
2、圆心O1、O2在AB的两侧,如图2.
1O2图1
图2
考点三:
例10.如图,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点
B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为.
切线的性质和扇形面积公式.
例11.扇形的半径为6cm,面积为9cm2,那么扇形的弧长为,扇
形的圆心角度数为.
弧长公式和扇形面积公式.
例12.用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面,则这
个圆柱的底面直径为.
本题中圆柱的侧面展开图为正方形,圆柱底面圆的周长是正方形的边长.
例13.如图,已知扇形AOB的圆心角为60°
,半径为6,C、D分别是弧
AB的三等分点,则阴影部分的面积等于.
扇形面积公式.
可将阴影部分通过旋转得到一个扇形.
例14.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是()
A.180°
B.200°
C.225°
D.216°
圆锥底面圆周长是侧面展开图的扇形的弧长.
【变式1】如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离,它们的半径都是
1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是()
A.πB.1.5πC.2πD.2.5π
五个扇形(阴影部分)的面积之和可以看作是圆心角为五边形的内角和,半径为1的扇形面积.
【变式2】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是()
A.60°
B.90°
C.120°
D.180°
此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆锥、圆锥的侧面展开图的有关概念.
【变式3】如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AC=AB=2,以AB
为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积.
会把不可求的阴影面积转化为可求面积.
连接AD,则阴影面积等于△ACD的面积,即等于△ABC面积的一半.
【变式4】在ABCD中,AB=43,AD=2,BD⊥AD,以BD为直径
的⊙O交AB于E,交CD于F,则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为.
本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识.注意:
求不规则图形面积,往往转化为规则图形的面积的和或差的形式.解析:
考点四:
例15.边长为2a的正六边形的面积为.
正六边形的面积等于六个等边三角形的面积之和.
例16.下列命题正确的是()
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各内角分别相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
正多边形的概念及对称性.
例17.同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为.考点:
圆和正多边形的关系,边长都用圆的半径表示.
例18.边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为.
用正n边形的边长a分另表示外接圆与内切圆的半径.
【变式1】下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有()个.
①正三角形;
②正方形;
③正五边形;
④正六边形;
⑤线段;
⑥圆;
⑦菱形;
⑧平行四边形
A.3B.4C.5D.6
会判断轴对称图形和中心对称图形.
【变式2】如图所示,木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出
一块正六边形木板,那么这块正六边形木板的边长为().
A.24cmB.22cmC.20cmD.
18cm
正六边形的边长为原正三角形边长的1
3.
【变式3】如图所示,图①,②,③,…,○n,M,N分别是⊙O的内接
正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…正n边形的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON的度数是,图③中∠MON的度数是;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)
正多边形和圆的有关计算
三、总结
结合圆的有关性质求角的度数和线段的长,利用弧长、扇形面积等公式求阴影部分的面积.都是结合图形的直观性解决数的抽象性,并进行形数互化.
(二)分类讨论思想
在判断和圆有关的位置关系时,要注意有几种情况,或在求圆中一条弦所对的圆周角、圆中平行两弦的弦心距等都是利用分类讨论的思想,在不同条件和图形下得到不同的结论.
(三)化归与转化思想
在解决有关圆的问题时,常需运用图中条件寻求线段间、角之间、弧之间的关系,从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形、等信息,从而归结一个相对较容易解决的问题,达到解决问题的目的.
(四)注意观察、分析、总结
圆这一单元的知识点较多,要注重积累并会应用到实际问题中,总结各种题型之间的变化和联系,拓展解题思路,并会运用数学思想和方法及学会演绎推理的方法,提高推理和表达能力.
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