历年安徽高考数学理试卷答案.doc

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理）试题

第I卷（选择题共50分）

一.选择题：

本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i是虚数单位，若，则乘积的值是（B）

（A）-15（B）-3（C）3（D）15

（2）若集合则A∩B是（D）

（A）（B）

（C）（D）

（3）下列曲线中离心率为的是（B）

（A）（B）（C）（D）

（4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（A）

（A）p:

＞b+d,q:

＞b且c＞d

（B）p:

a＞1,b>1，q:

的图像不过第二象限

（C）p:

x=1,q:

（D）p:

a＞1,q:

在上为增函数

（5）已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大值的是（B）

（A）21（B）20（C）19（D）18

（6）设＜b,函数的图像可能是（C）

（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（A）（A）（B）（C）（D）

（8）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调区间是（C）

（A）（B）

（C）（D）

（9）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（A）

（A）（B）（C）（D）

（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D）

（A）（B）（C）（D）

二．填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若随机变量～，则=________.

解答：

（12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

解答：

（13）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.

解答：

127

（14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是=________.

解答：

2

（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

相对棱AB与CD所在的直线异面；

由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；

分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

解答：

三．解答题：

本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）

在ABC中，sin（C-A）=1,sinB=。

（I）求sinA的值；

（II）设AC=，求ABC的面积。

（16）本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

本小题满分12分

解：

（I）由知。

又所以即

故

（II）由（I）得：

又由正弦定理，得：

所以

（17）（本小题满分12分）

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的。

对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是。

同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。

在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。

写出X的分布列（不要求写出计算过程）,并求X的均值（即数学期望）.

（17）本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。

体现数学的科学价值。

本小题满分12分。

X

1

2

3

P

解：

随机变量X的分布列是

X的均值。

附：

X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：

①

②

③

④

⑤

⑥

A－B－C－D

A—B—C

└D

A—B—C

└D

A—B—D

└C

A—C—D

└B

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

（18）（本小题满分13分）

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，

BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。

（I）求二面角B-AF-D的大小；

（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。

（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

本小题满分13分。

解：

（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足。

连接BG、DG。

由BD⊥AC,BD⊥CF,得：

BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.

于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。

由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=.

由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO=.

（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.于是

设平面ABF的法向量，则由得。

令得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

从而

由得。

又因为

故四棱锥H-ABCD的体积

（19）（本小题满分12分）

已知函数，讨论的单调性.

（19）本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

本小题满分12分。

解：

的定义域是（0,+）,

设,二次方程的判别式.

①当，即时，对一切都有.

此时在上是增函数。

②当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。

③当，即时，

方程有两个不同的实根,,.

+

0

_

0

+

单调递增↑

极大

单调递减↓

极小

单调递增↑

此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.

（20）（本小题满分13分）

点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.

（I）证明:

点是椭圆与直线的唯一交点；

（II）证明:

构成等比数列。

（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。

考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

本小题满分13分。

解：

（I）（方法一）由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.

（方法二）显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

（II）的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。

（21）（本小题满分13分）

首项为正数的数列满足

（I）证明：

若为奇数，则对一切都是奇数；

（II）若对一切都有，求的取值范围。

（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。

本小题满分13分。

解：

（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

（II）（方法一）由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

（方法二）由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。

因此，对一切都有的充要条件是或。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

理科数学测试

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）是虚数单位，

（A） （B） （C） （D）

（2）若集合，则

（A） （B）

（C） （D）

（3）设向量，则下列结论中正确的是

（A） （B） （C）垂直 （D）

（4）若是R上周期为5的奇函数，且满足则=

（A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2

（5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为

（A） （B） （C） （D）

（6）设，二次函数的图象可能是

（7）设曲线C的参数方程为（为参数），

直线的方程为，则曲线C到直线的距

离为的点的个数为

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为

（A）280 （B）292

（C）360 （D）372

（9）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A的坐标是，则当时，动点A的纵坐标y关于t（单位：

秒）的函数的单调递增区间是

（A）[0，1] （B）[1，7] （C）[7，12] （D）[0，1]和[7，12]、

（10）设是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是

（A） （B）

（C） （D）

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

（11）命题“对任何”的否定是．

（12）的展开式中，的系数等于．

（13）设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为．

（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值．

（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红

球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，

分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球

的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球

是红球的事件，则下列结论中正确的是　　（写出所有正确结

论的编号）．

①；

②；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解