历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一).doc
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历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析
题1已知的大小关系是.
(第十一届高二第一试第11题)
解法1,.
.
解法2,.
解法3
=.
解法4原问题等价于比较与的大小.由得,.
.
A
B
C
x
y
Ob-abb+a
图1
解法5如图1,在函数的图象上取三个不同的点A(,)、B(,)、C(,).
由图象,显然有,即,
即,亦即.
解法6令,单调递减,而,,即,.
解法7考虑等轴双曲线.
如图2,其渐近线为.在双曲线上取两点
A
B
O
x
y
图2
A(,)、B(,).
由图形,显然有,即,从而.
解法8如图3.在Rt△ABC中,∠C为直角,BC=,AC=,BD=,则AB=,DC=.
在△ABD中,AB-AD A B D C 图3 从而AD-DC 即,故. 评析比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化(处理无理式常用此法)将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小,顺理成章,也很简洁.要注意的是: 时,;时,.此题直接作差难以确定差与0的大小,解法3对的倒数作差再与0比较大小,使得问题顺利获解,反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题,构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得恰为其两个函数值,且该函数还应是单调的(最起码在包含对应的自变量值的某区间上是单调的).解法5与解法7分别构造函数与解几模型,将的大小关系问题转化成斜率问题加以解决,充分沟通了代数与几何之间的内在联系,可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景,构造平面图形,直观地使问题得到解决,这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法. 有人对此题作出如下解答: 取则, ,可再取两组特殊值验证,都有.故答案为. 从逻辑上讲,取,得.即使再取无论多少组值(也只能是有限组值)验证,都得,也只能说明或作为答案是错误的,而不能说明一定是正确的,因为这不能排除的可能性.因此答案虽然正确,但解法是没有根据的.当然,如果将题目改为选择题: 已知的大小关系是() A、B、C、D、 此时用上述解法,且不用再取特殊值验证就可选D,并且方法简单,答案一定正确. 总而言之,特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷,那是因为选择支中的正确答案是唯一的,从而通过特殊值排除干扰支,进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论,而不能直接肯定正确答案,因此,用此法解填空题(少数特例除外)与解答题是没有根据的.当然,利用特殊值指明解题方向还是十分可取的. 题2设,且恒成立,则的最大值为() A、2B、3C、4D、5 (第十一届高二第一试第7题) 解法1原式..而 +,且当,即时取等号...故选. 解法2,,已知不等式化为 .由,即,故由已知得,选. 解法3由,知,有.又, 即,由题意,.故选. 解法4,.已知不等式可变形为 .记, 则.由题意,.故选. 解法5于是 .比较得.故选. 评析由已知,可得恒成立.根据常识“若恒成立,则;若恒成立,则,”的最小值就是所求n的最大值,故问题转化为求的最小值,上述各种解法都是围绕这一中心的,不过采用了不同的变形技巧,使用了不同的基本不等式而已.解法1运用了;解法2运用了;解法3运用了;解法4运用了;解法5运用了.虽解法异彩纷呈,但却殊途同归. 此题使我们联想到最新高中数学第二册(上)P第8题: 已知,求证: . 证: 令,则. ., . 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式,使得推证更简单了.运用这一思路,又可得本赛题如下解法: 设,则.恒成立,就是恒成立.也就是恒成立.恒成立, 由题意得.故选. 再看一个运用这一思想解题的例子. 例设,求证: . (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题) 证明设则. ,①, 即 ,. 本赛题还可直接由下面的命题得解. 命题若,则. 证明,都大于.反复运用①式,可得: “若,则,当且仅当时取等号”.故有. 也可以这样证明: ,.故由柯西不等式,得 ,即., . 由此可得本赛题的如下解法: ,,.由题意,.故选. 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题: 设,并且,,则与的大小关系是() A、B、C、D、 解,.故选. 题3设实数满足,,则的最大值为() A、B、C、D、 (第十一届高二培训题第5题) 解法1设 则 即max=.故选D. 解法2,又, 当且仅当且即时取等号, 解法3 当且仅当时取等号,故. 解法4设则 当且仅当共线,即时取等号,故. 解法5若设,则直线与圆有公共点,于是 ,即. 解法6 设,则 当且仅当时取等号,故. 解法7构造函数, 则故 即 解法8由还可构造图形(如图),其中 为圆的直径,由托勒密定理,得,从而得,当且仅当且时取等号.. 评析解法1抓住已知条件式的结构特征,运用三角代换法,合情合理,自然流畅,也是解决此类型问题的通法之一. 解法2运用基本不等式将放大为关于与的式子,再利用条件求出最大值.值得注意的是,稍不注意,就会得出下面的错误解法: .故选A.错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到.上述不等式取等号的条件是①且②,而若①,②式同时取得,则,即这与题设矛盾! 即当时,取不到.解法2是避免这种错误的有效方法. 由于向量与复数的模的平方是平方和形式,与已知形式一致,故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法,新颖而简洁. 解法5设后,将其看作动直线,利用该直线与定圆有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径,得,充分体现了等价转化的解题功能. 解法7运用的是构造函数法.为什么构造函数 呢? 主要基于两点: ①为非负式(值大于等于0),②由于,故有,而沟通了已知与未知的关系,故使问题得到解决. 解法8抓住已知两条件式的特征,构造了两个有公共边的直角三角形,利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解,充分揭示了这一代数问题的几何背景. 拓展此题可作如下 推广若则 (当且仅当时取得最大值). 证明 当且仅当 本推广实际就是由著名的(柯西)不等式 (当且仅当时取等号)直接得到的一个结论. 推广有十分广泛的应用,现举一例: 例已知求最大值. 解 =8.由推广知当且仅当即时取等号. 题4对于的一切实数,使不等式都成立的实数的取值范围是____ (第十三届高二培训题第63题) 解法1题设等价于或或,即或或,所以或或,即. 解法2已知不等式即,令,则 当,即时,是的一次函数,因为,即时不等式恒成立,所以在上的图象恒在轴的下方,故有,即,解得. 又当时,,适合题意,当时,不合题意. 故的取值范围是. 评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法,为了达到分离参数的目的,又对分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于的不等式组,从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度,把已知不等式看成关于的不等式,从而将原问题转化为函数在上的图象恒在轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法,使得此题的解决显得既简捷,又直观易懂. 题5当时,不等式恒成立,则的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题) 解法1当时,①,又有②,②+①×2,得,,,即.由,得,. 解法2,又 ,即,当且仅当且,即时取等号.恒成立, .于是. 解法3原不等式等价于,由,可知.由“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,可知只需,即即可,故,于是. 解法4即①成立,又恒成立,只要满足②就能使①恒成立.由②式,得,,③.由于对称轴,由二次函数的性质,当时,要③式恒成立,则. 解法5设(),则=+ =.-1),即2-,则,于是,由已知,得. O O x 解法6设则 表示在坐标系第一象限内以原点为圆心,为半径的圆及其外部.由得又它表示双曲线位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意,双曲线相切或相离,从而,即. 解法7运用结论“如果,则 当且仅当(常数)时取等号.”,由柯西不等式,有①,由得②.故得,当且仅当时取等号,由,得. 解法8运用结论“当且仅当成等差数列时取等号.” .,当且仅当,即时取等号.令,得. 评析恒成立,.故问题的实质就是求的最小值(关于的式子)大于等于2的解.因而在的条件下,如何求的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”,解法2运用配方再放缩,解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换,解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参()一元二次不等式恒成立,求参数的范围问题,从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论(读者可自己证明),各种解法异彩纷呈,都值得细细品味. 拓展此题可作如下推广: 推广1若,则,当且仅当成等差数列时取等号. 证明由已知,,则,,.根据柯西不等式及解法7运用的不等式(),有 故. 当且仅当成等差数列时取等号. 推广2若,则 ,当且仅当时取等号. 证明不妨设,由已知得 令,则=.由均值不等式, 即,则,即, ,当且仅当时取等号. . 题6已知,设, ,,那么的大小关系是() A、B、C、D、 (第八届高二第一试第10题) 解法1设,.,而是减函数, ,即.,, .,即.故.选D. 解法2由题意,令,则,,,,,,是减函数,又,,即.故选D. 评析这是一个比较函数值大小的问题,通常利用函数的单调性.若函数单调递增(减),则当时,,当时, .因此解决问题的关键有两个: 一是确定函数的单调性,二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的. 因为正确答案应对一切都正确,故又可以运用特殊值法.对内的某个角不正确的选择支都是错误的,由正确选择支的唯一性,也可选出正确答案.解法2便是取特殊值,排除了A、B、C、而选D的. 当然,此题也可用作差比较法来解: ,,是单调减函数,,. ,.又 ,即 ,.选D. 题7已知,不等式的解是. (第三届高二第二试第13题) 解原不等式即.指数函数是减函数,,原不等式化为,即.又对数函数是减函数,,即,解得.对数函数的定义域是的实数,原不等式的解是或. 评
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