南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案.doc
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南京市2014届高三年级第三次模拟考试
数学
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知全集U=R,集合A={x|x≤-2,xR},B={x|x<1,xR},则(∁UA)∩B=.
2.已知(1+)2=a+bi(a,bR,i为虚数单位),则a+b=.
3.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测,甲校有学生800人,乙校有学生500人,现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本.已知在甲校抽取了48人,则在乙校应抽取学生人数为.
4.现有红心1,2,3和黑桃4,5共五张牌,从这五张牌中随机取2张牌,则所取2张牌均为红心的概率为.
S←1
I←3
WhileS≤200
S←S×I
I←I+2
EndWhile
PrintI
(第5题图)
5.执行右边的伪代码,输出的结果是.
6.已知抛物线y2=2px过点M(2,2),则点M到抛物线焦点的距离为.
7.已知tanα=-2,,且<α<π,则cosα+sinα=.
8.已知m,n是不重合的两条直线,α,β是不重合的两个平面.下列命题:
①若α⊥β,m⊥α,则m∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m∥α,m⊥n,则n⊥α;④若m∥α,mβ,则α∥β.
其中所有真命题的序号是.
9.将函数f(x)=sin(3x+)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)在[,]上的最小值为.
10.已知数列{an}满足an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),它的前n项和为Sn.若S9=6,S10=5,则a1的值为.
11.已知函数f(x)=,则关于x的不等式f(x2)>f(3-2x)的解集是.
12.在Rt△ABC中,CA=CB=2,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则·的取值范围为.
13.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)2+y2=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60°,则圆M的方程为.
14.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且+1=.
(1)求B;
(2)若cos(C+)=,求sinA的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,O为AC与BD的交点,AB^平面PAD,△PAD是正三角形,
DC//AB,DA=DC=2AB.
P
A
B
C
D
O
E
(第16题图)
(1)若点E为棱PA上一点,且OE∥平面PBC,求的值;
(2)求证:
平面PBC^平面PDC.
17.(本小题满分14分)
某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米,栽种n年后的高度记为f(n).经研究发现f(n)近似地满足f(n)=,其中t=2,a,b为常数,n∈N,f(0)=A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.
(1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍;
(2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)过点P(-1,-1),c为椭圆的半焦距,且c=b.过点P作
两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于另两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l1的斜率为-1,求△PMN的面积;
(3)若线段MN的中点在x轴上,求直线MN的方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=lnx-mx(mR).
(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:
x1x2>e2.
20.(本小题满分16分)
已知a,b是不相等的正数,在a,b之间分别插入m个正数a1,a2,…,am和正数b1,b2,…,
bm,使a,a1,a2,…,am,b是等差数列,a,b1,b2,…,bm,b是等比数列.
(1)若m=5,=,求的值;
(2)若b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在n(n∈N*,6≤n≤m)使得an-5=bn,求λ的最小值及此时m的值;
(3)求证:
an>bn(n∈N*,n≤m).
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数学附加题
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
·
O
B
A
C
D
E
(第21题A图)
已知圆O的内接△ABC中,D为BC上一点,且△ADC为正三角形,点E为BC的延长线上一
点,AE为圆O的切线,求证:
CD2=BD·EC.
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知矩阵A=(k≠0)的一个特征向量为α=,A的逆矩阵A-1对应的变换将点
(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知M是椭圆+=1上在第一象限的点,A(2,0),B(0,2)
是椭圆两个顶点,求四边形OAMB的面积的最大值.
D.选修4—5:
不等式选讲
已知a,b,cR,a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最大值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=BD.
(1)若PM=PA,求证:
MN⊥AD;
C
·
·
P
M
A
B
D
N
(第22题图)
(2)若二面角M-BD-A的大小为,求线段MN的长度.
23.(本小题满分10分)
已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1,S2,S3,……,集合Sk中所有元素的平均
值记为bk.将所有bk组成数组T:
b1,b2,b3,……,数组T中所有数的平均值记为m(T).
(1)若S={1,2},求m(T);
(2)若S={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥2),求m(T).
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数学参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.(-2,1)2.-73.304.5.116.7.
8.②9.-10.111.(-∞,-3)∪(1,3)12.[,2]
13.(x-1)2+y2=114.2-2
二、解答题:
15.(本小题满分14分)
解:
(1)由+1=及正弦定理,得+1=,………………………………………2分
所以=,即=,则=.
因为在△ABC中,sinA≠0,sinC≠0,
所以cosB=.………………………………………5分
因为B(0,π),所以B=.………………………………………7分
(2)因为0<C<,所以<C+<.
因为cos(C+)=,所以sin(C+)=.………………………………………10分
所以sinA=sin(B+C)=sin(C+)=sin[(C+)+]………………………………………12分
=sin(C+)cos+cos(C+)sin
=.………………………………………14分
16.(本小题满分14分)
证
(1)因为OE∥平面PBC,OEÌ平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,所以OE∥PC,
所以AO∶OC=AE∶EP.………………………………………3分
因为DC//AB,DC=2AB,所以AO∶OC=AB∶DC=1∶2.
所以=.………………………………………6分
(2)法一:
取PC的中点F,连结FB,FD.
因为△PAD是正三角形,DA=DC,所以DP=DC.
因为F为PC的中点,所以DF⊥PC.………………………………………8分
因为AB^平面PAD,所以AB⊥PA,AB⊥AD,AB⊥PD.
因为DC//AB,所以DC⊥DP,DC⊥DA.
设AB=a,在等腰直角三角形PCD中,DF=PF=a.
在Rt△PAB中,PB=a.
在直角梯形ABCD中,BD=BC=a.
因为BC=PB=a,点F为PC的中点,所以PC⊥FB.
在Rt△PFB中,FB=a.
在△FDB中,由DF=a,FB=a,BD=a,可知DF2+FB2=BD2,所以FB⊥DF.
………………………………………12分
由DF⊥PC,DF⊥FB,PC∩FB=F,PC、FBÌ平面PBC,所以DF⊥平面PBC.
又DFÌ平面PCD,所以平面PBC^平面PDC.………………………………………14分
法二:
取PD,PC的中点,分别为M,F,连结AM,FB,MF,
所以MF∥DC,MF=DC.
因为DC//AB,AB=DC,所以MF∥AB,MF=AB,
即四边形ABFM为平行四边形,所以AM∥BF.………………………………………8分
在正三角形PAD中,M为PD中点,所以AM⊥PD.
因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥AM.
又因为DC//AB,所以DC⊥AM.
因为BF//AM,所以BF⊥PD,BF⊥CD.
又因为PD∩DC=D,PD、DCÌ平面PCD,所以BF⊥平面PCD.……………………………12分
因为BFÌ平面PBC,所以平面PBC^平面PDC.………………………………………14分
17.(本小题满分14分)
解:
(1)由题意知f(0)=A,f(3)=3A.
所以解得a=1,b=8.………………………………………4分
所以f(n)=,其中t=2.
令f(n)=8A,得=8A,解得tn=,
即2=,所以n=
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