卓越联盟自主招生数学试题理科及答案.docx

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附录1：

2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）

选择题（每题5分，共20分）（注：

原题是选择题）

1.不等式的解集为_____________．

2.在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，三棱锥的体积为，则直线与平面所成的角的正弦值为________．

3.当实数变化时，不在任何直线上的所有点形成的图形的面积为_____________．

4.已知函数．．设为实数，若存在实数，使，则的取值范围是___________．

填空题（每题6分，共24分）

5.已知，分别在区间和内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为．则的值为_______________．

6.设，为平面上夹角为（）的两个单位向量，为平面上的一个固定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标．现有两个点，的斜坐标分别为，．则，两点的距离为______________．

7.若函数的图象的对称中心与轴距离最小的对称轴为，则实数的值为_____．

8.已知集合，满足，．若中元素的个数不是中的元素，中元素的个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为___________．

解答题（共56分）

9.（13分）设，函数，．

（1）若，求在区间上的最大值．

（2）若，求与的值．

10.（13分）已知双曲线（，）的两条渐进线的斜率之积为，左右两支上分别由动点和．

（1）设直线的斜率为1，经过点，且，求实数的值．

（2）设点关于轴的对称点为．若直线，分别与轴相交于点，，为坐标原点，证明．

11.（15分）已知为上的可导函数，对任意的，有，．

（1）对任意的，证明：

（）；

（2）若，，证明，．

12.（15分）已知实数列满足，，，常数．对任意的，有．设为所有满足上述条件的数列的集合．

（1）求的值；

（2）设，，，且存在，使．证明：

；

（3）设集合，，求中所有正数之和．

附录2：

2014年卓越联盟自主招生数学参考答案

选择题（注：

原题是选择题）

1.答案：

．提示：

，把原式视作的三次多项式分解因式即可．

2.答案：

．提示：

仔细算算．

3.答案：

．提示：

原式视作的二次方程，判别式即可．

4.答案：

．提示：

仔细算算．

填空题

5.答案：

．提示：

可转化为“线性规划+几何概型”问题．

6.答案：

．提示：

显然．

7.答案：

．提示：

仔细算算．

8.答案：

44．提示：

按中元素个数（,,,…）逐个进行分类讨论．

解答题

9.答案：

（1）；

（2），（）；，．

提示：

．

10.答案：

（1）；

（2）提示：

，再带入，即可．

11.提示：

（1）即证，构造函数，对求导证明在上单增即可．

（2）由条件知是上的单增函数，故不可能恒等于零．

如果存在正实数，及实数，使，则对任意，．

则当时，，与条件矛盾．

如果存在正实数，及实数，使，则对任意，存在，满足．则当时，，与条件也矛盾．

总之，题目中的条件永远不成立．故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题．

12.提示：

（1）化简，可得对任意正整数成立，左边在无穷大时是无穷小，所以．

（2）方法一：

假设是1，2，3，…，中满足中的最大角标．则

．

方法二：

假设是1，2，3，…，中满足中的最小角标，则（）．

（3）显然的前项和是正数，当且仅当，此时（，，…，）的符号随意．即：

，，，…，，．这样的数列共有个，若与符号相反，则进行配对（，，…，）．于是，中所有元素之和为．

说明：

（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之．

（2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路，应注意掌握．实际上，前者对应于的欧几里得赋值，后者对应于的赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大．