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(3)利用导数研究函数的性质.
二、导数及其应用的教学建议
(一)没有极限怎样讲解导数的概念?
1.以往教材的体现顺序:
数列—数列的极限—函数的极限—函数的连续—导数—导数应用—不定积分—定积分(导数作为一种特殊极限处理,有形式化的极限概念),体系相对完整.
2.新教材从变化率入手研究导数,用形象直观的“逼近”方法定义导数:
从函数的平均变化率到瞬时变化率,再到函数在处的导数,进而到函数在区间内导函数(导数).
这样的好处体现在:
(1)避免学生认知水平和知识学习间的矛盾;
(2)更多精力放在对导数本质的理解上;
(3)对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解.
3.导数概念的建立:
(1)平均变化率:
对于函数,定义为函数从到的平均变化率.换言之,如果自变量在处有增量,那么函数相应地有增量
,则比值就叫做函数从到之间的平均变化率.
(2)函数在处的导数:
函数在处的瞬时变化率是
,我们称它为函数在处的导数,记作,即
.
(3)函数的导函数(导数):
当变化时,是的一个函数,我们称它为函数的导函数(简称导数),即.
例1如图,函数的图象是折线段,其中
的坐标分别为,则函数
在处的导数_________.
通过本例分析,强调导数定义的重要性及数形结合思想的应用.
(二)导数的几何意义教学注意事项
1.关注对于曲线切线的重新认识:
曲线的切线为曲线割线的极限位置.
2.导数的几何意义:
函数在点处的导数就是曲线在点
处的切线的斜率,即.
3.强调切点的重要性:
切点既在切线上又在曲线上,即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.
教学中教师可以设计如下例题:
例2
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)过点作曲线的切线,求切线的方程.
对于
(1),根据导数的几何意义:
函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率,可求出切线的斜率,进而由直线方程的点斜式求得切线方程.
对于
(2),注意到点不在曲线上,所以可设出切点,并通过导数的几何意义确定切点的坐标,进而求出切线方程.
解:
(1)曲线在点处的切线斜率为,
从而切线的方程为,即.
(2)设切点的坐标为.
根据导数的几何意义知,切线的斜率为,
从而切线的方程为.
因为这条切线过点,所以有,
整理得,解得,或.
从而切线的方程为,或,
即切线的方程为,或.
通过此例,引导学生关注运用导数求曲线的切线方程,常依据的条件是:
①函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率,即;
②切点既在切线上又在曲线上,即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.
(三)导数的运算教学注意事项
1.熟悉导数公式表,即几种常见函数的导数:
①(为常数);
②(,);
③;
④;
⑤;
⑥(,且);
⑦;
⑧(,且).
2.明确导数的运算法则:
①;
②;
③().
3.关注简单的复合函数(仅限于形如)的导数:
设函数,,则函数称为复合函数.其求导步骤是:
,其中表示对求导,表示对求导.对求导后应把换成.
例3求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4).
(1)方法一:
方法二:
,
(2)方法一:
(3)方法一:
(4).
通过此例题,教师强调理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件.运用公式和求导法则求导数的基本步骤为:
①分析函数的结构特征;
②选择恰当的求导法则和导数公式求导数;
③化简整理结果.
应注意:
在可能的情况下,求导时应尽量减少使用乘法的求导法则,可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简,然后再求导,这样可减少运算量.(如
(1)
(2)题的方法二较方法一简捷).
对于(3),方法一是使用积的导数运算公式求解,即使用三角公式将表示为和的乘积形式,然后求导数;
方法二是从复合函数导数的角度求解.方法二较方法一简捷.
对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确.
(四)定积分与微积分基本定理教学须知
1.曲边梯形的面积与定积分:
(1)定积分定义:
设函数定义在区间上.用分点把区间分为个小区间,其长度依次为,.记为这些小区间长度的最大者.当趋近于时,所有的小区间的长度都趋近于.在每个小区间内任取一点,作和式.当时,如果和式的极限存在,我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分,记作,
即.其中叫做被积函数,叫做积分下限,叫做积分上限,此时称函数在区间上可积.
教学中应突出:
分割——近似代替——求和——取极限的步骤,概念非常抽象,结合图形帮助分析.
(2)明确定积分性质:
定积分有三条主要的性质:
②;
③().
性质②对于有限个函数(两个以上)也成立;
性质③对于把区间分成有限个(两个以上)区间也成立.
在定积分的定义中,限定下限小于上限,即.为了计算方便,我们把定积分的定义扩展,使下限不一定小于上限,并规定:
(3)明确几种典型的曲边梯形面积的计算方法:
①由三条直线,,轴,一条曲线围成的曲边梯形的面积.
②由三条直线,,轴,一条曲线围成的曲边梯形的面积.
③由两条直线,,两条曲线,围成的平面图形的面积.
④由三条直线,,轴,一条曲线围成的曲边梯形的面积,即在区间上,有正有负,求曲边梯形的面积时应分段计算.
2、微积分基本定理:
如果,且在上可积,则
,其中叫做的一个原函数.原函数在上的改变量简记作,因此微积分基本定理可以写成.
教学中可采用如下例题:
例4计算下列定积分:
(4);
(5);
(6).
解:
(1).
(2).
(3).
(5).
(6).
教学重要明确求一般分为两步:
①求的原函数;
②计算的值,对于求较复杂函数的定积分还要依据定积分的性质.
例5求曲线,及直线所围成图形的面积.
两条曲线,的交点为,
故所求面积.
(五)例举导数在研究函数性质中的应用
1.利用导数判断函数的单调性:
(1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
设函数在区间内可导,
①如果恒有,那么函数在区间内单调递增;
②如果恒有,那么函数在区间内单调递减.
值得注意的是,若函数在区间内有(或),但其中只有有限个点使得,则函数在区间内仍是增函数(或减函数).
(2)一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大,说明这个函数在这个范围内变化得快.这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);
反之,函数的图象就比较“平缓”.
2.利用导数研究函数的极值:
(1)设函数在点附近有定义,如果对附近所有的点,都有,就说是函数的一个极大值,是极大值点;
如果对附近所有的点,都有,就说是函数的一个极小值,是极小值点.
(2)需要注意,可导函数的极值点必是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点.如在处的导数值为零,但不是函数的极值点.也就是说可导函数在处的导数是该函数在处取得极值的必要但不充分条件.
(3)函数在区间上的最值:
在区间上的最大值(或最小值)是在区间内的极大值(或极小值)及中的最大者(或最小者).
(4)应注意,极值只是相对一点附近的局部性质,而最值是相对整个定义域内的整体性质.
例6求函数的单调区间.
的定义域为,求导数得
令,得.
①当,即时,的变化情况如下表:
所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
②当,即时,的变化情况如下表:
③当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.
通过本例,明确求函数的单调区间的步骤:
①确定的定义域(这一步必不可少,单调区间是定义域的子集);
②计算导数;
③求出方程的根;
④列表考察的符号,进而确定的单调区间(必要时要进行分类讨论).
例7求函数的极值.
,令,解得.
列表分析如下:
极大值
极小值
所以当时,有极大值;
当时,有极小值.
通过本例,明确求函数的极值的步骤:
①计算导数;
②求出方程的根;
③列表考察的根左右值的符号:
如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;
如果左负右正,那么在这个根处取得极小值.
例8已知函数.
(1)求的单调递减区间;
(2)若在区间上的最大值为,求它在该区间上的最小值.
(1).
令,解得或.
所以函数的单调递减区间为,.
(2)因为,,
所以.
因为在上,所以在上单调递增,又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.
于是有,解得.
故,因此,
即函数在区间上的最小值为.
通过本例,明确求函数在闭区间上最值的基本方法:
③比较函数值及的大小,其中的最大(小)者就是在闭区间上最大(小)值.
例9求证:
当时,.
不等式两边都是关于的函数,且函数类型不同,故可考虑构造函数,通过研究函数的单调性来辅助证明不等式.
证明:
构造函数,则.
当时,有,从而,
所以函数在上单调递减,
从而当时,,
即当时,.
通过构造函数,利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一,而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用.
三、学生学习中常见的错误分析与解决策略
1.忽视函数的定义域:
例10求函数的单调区间.
易错点:
不优先考虑函数的定义域而直接求导,但求导后函数的“模样”(类型)变化很大,导致定义域变化,因而出现问题.
简解:
的定义域是,且,
令,得(舍去).列表分析如下:
所以函数的减区间是,增区间是.
错因分析:
研究一个函数要优先考虑自变量的取值集合,这是一个基本顺序.在本题中如果忽视它,将导致对于的无谓讨论.
解决策略:
①明确导数是研究函数性质的工具之一,遵循一般函数的研究顺序;
②养成在定义域范围内研究函数问题的习惯;
③有检验意识.
2.不会研究较抽象的问题
例11设,分别是定义在上的奇函数和偶函数.当时,,且,则不等式的解集是()
A.B.
C.D.
题目给出的信息量较大,并且还都是抽象符号函数,不知从何下手?
对于函数与导数要有整体的把握,才能从更高的观点出发,对于新情境问题找到突破口.
首先要标出重要的已知条件,从这些条件入手,不断深入研究.由你能产生什么联想?
它和积的导数公式很类似,整理可得.令,则当时,是增函数.再考虑奇偶性,函数是奇函数.还有一个已知条件,进而可得,这样我们就可以画出函数的示意图,借助直观求解.答案:
D
3.用导数解决实际问题
例12用总长的钢条制作一个长方体容器的框架,如果容器底面的长比宽多,那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?
并求出它的最大容积.
读不懂题,不能化未知为已知;
即使能够建立函数关系也不关注实际背景.
函数观念弱化,无法建立函数关系,建模能力弱.
解决实际优化问题的关键在于建立数学模型(目标函数),通过把题目中的主要关系(等量和不等量关系)形式化,把实际问题抽象成数学问题,再选择适当的方法求解.
设容器底面长方形宽为,则长为,
依题意,容器的高为.
显然,即的取值范围是.
记容器的容积为,
则.
对此函数求导得,.
令,解得;
令,解得.
所以,当时,取得最大值1.8,这时容器的长为.
答:
容器底面的长为m、宽为m时,容器的容积最大,最大容积为.
四、学生学习目标检测分析
(一)课程标准中的相关要求
1.导数及其应用
(1)导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数,,,,,的导数.
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如)的导数.
③会使用导数公式表.
(3)导数在研究函数中的应用
①结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;
能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
②结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;
会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;
体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
(4)生活中的优化问题举例
例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.
(5)定积分与微积分基本定理
①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;
借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念.
②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义.
(二)高考考试内容与要求
1.导数概念及其几何意义.
2.导数的运算.
3.导数在研究函数中的应用.
4.生活中的优化问题.
5.定积分与微积分基本定理.
(三)典型题目剖析:
例13已知,函数,.设,记曲线在点处的切线为.
(1)求的方程;
(2)设与轴的交点是,证明:
对于
(1),根据导数的几何意义,不难求出的方程;
对于
(2),涉及到不等式的证明,依题意求出用表示的后,将视为的函数,即,结合要证明的结论进行推理.
(1)对求导数,得,由此得切线的方程为:
(2)依题意,切线方程中令,得.
由,及,有;
另一方面,,
从而有,当且仅当时,.
本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明.涉及的基础知识都比较基本,题目难度也不大,但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合,具有一定新意,体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法,这种趋势在教学中因予以关注,体现导数的工具性作用.
本题中的
(2)在证明时,还可用如下方法:
①作差,.
②利用平均值不等式,.
例14(2009年高考北京卷理18)设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.
本题以研究函数的单调性为背景,全面考查了运用导数解决与单调性相关问题的全过程.从数学思想角度考查了函数与方程思想、分类与整合思想、划归与转化的思想等,内涵丰富.通过这个问题可以有效引导教学关注考查热点,关注导数教学的重点,注意教学的针对性与实效性.
(1),令,得.
若,则当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
若,则当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减.
(2)若,则当且仅当,即时,函数在区间内单调递增;
若,则当且仅当,即时,函数在区间内单调递增.
综上,函数在区间内单调递增时,的取值范围是.
例15(2007年高考全国卷理120)已知函数.
(1)证明:
的导数;
(2)若对所有都有,求的取值范围.
本题以研究一个新的函数的性质为背景,全面考查了运用导数方法解决相关问题的全过程.考查了分类与整合的思想、构造函数模型证明不等式的基本方法等.重点突出,内涵丰富.题目将导数融入函数整体性质的考查以及和不等式的有机结合颇有创意,可以对我们教学中的方向和要求起到提示作用.
(1)的导数.
由于,故,当且仅当时,等号成立.
(2)令,则
,
①若,当时,,
故在上为增函数,
所以,时,,即.
②若,方程的正根为,
此时,若,则,故在该区间为减函数.
所以,时,,即,与题设相矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是.
通过对上述高考题目的剖析,教师们要明确导数在高考中的考查热点,主要集中在下述几方面:
1.研究函数性质
导数作为研究函数问题的利刃,常用来解决极值、最大(小)值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时,要结合导数的思想与理解性质的基础上,掌握用导数方法求解的一般步骤.在熟练运用导数工具研究函数的性质同时,我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
2.证明不等式成立
证明不等式的方法有许多,导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具,体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性.由导数方法研究不等式时,一般是先构造一个函数,借助对函数单调性或最大(小)值的研究,经历某些代数变形,得到待证明的不等式.
3.求解参数范围
给定含有参数的函数以及相关的函数性质,求解参数的值或范围,需要我们灵活运用导数这一工具,对问题实施正确的等价转化,列出关于参数的方程或不等式.在此类含参问题的求解过程中,逆向思维的作用尤其重要.
4.研究曲线的切线问题
导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值,从而利用导数可求曲线的切线,并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中.解决此类相切问题,一般先求函数的导数,依据曲线在处的切线斜率为而进行研究.由于切点具有双重身份,既在切线上,又在函数图象上,从而对切点的研究可作为解决问题的纽带,特别是在不知道具体切点的情况下,常常设切点坐标并联立方程组而求解.
5.解决实践问题
在工农业生产、生活等实际问题中,常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题.我们先把实际情景翻译为数学语言,找出情景中主要的关系,抽象出具体的数学问题,化归为研究目标函数的最大(小)值,从而可利用导数方法简捷求解,此类问题称为优化问题.解答此类问题时,需要抓住三个基本步骤:
①建立函数关系;
②求极值点,确定最大(小)值;
③回归优化方案.
由上可知,导数思想方
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