海淀区高二下期中数学文科Word文档下载推荐.docx
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7.(4分)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设
=a,则下列不等式正确的是( )
A.f′
(1)<f′
(2)<aB.f′
(1)<a<f′
(2)C.f′
(2)<f′
(1)<aD.a<f′
(1)<f′
(2)
8.(4分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的图象只可能是( )
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
9.(4分)计算
= .
10.(4分)已知f(x)=
,则f′(x)= .
11.(4分)若函数y=ax+cosx是增函数,则实数a的范围是 .
12.(4分)已知数列{an}满足an+2an+1=7×
3n﹣1,且a1=1,则a3= ,通项an= (用n表示).
三、解答题:
本大题共5小题,共52分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13.(12分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数为f′(x)的部分值如表所示:
x
﹣2
1
3
8
f′(x)
﹣10
6
﹣90
根据表中数据,回答下列问题:
(Ⅰ)实数c的值为 ;
当x= 时,f(x)取得极大值(将答案填写在横线上).
(Ⅱ)求实数a,b的值.
(Ⅲ)求f(x)的单调区间.
14.(10分)如图,四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足DE∥AC,AC=2DE.
(Ⅰ)若DC⊥平面ABC,AB⊥BC,求证:
平面ABE⊥平面BCD;
(Ⅱ)求证:
在平面ABE内不存在直线与DC平行;
某同学用分析法证明第
(1)问,用反证法证明第
(2)问,证明过程如下,请你在横线上填上合适的内容.
(Ⅰ)证明:
欲证平面ABE⊥平面BCD,
只需证 ,
由已知AB⊥BC,只需证 ,
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立,
所以平面ABE⊥平面BCD.
(Ⅱ)证明:
假设 ,
又因为DC⊄平面ABE,所以DC∥平面ABE.
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE,
所以 ,
又因为DE∥AC,所以ACDE是平行四边形,
所以AC=DE,这与 矛盾,
所以假设错误,原结论正确.
15.(12分)已知函数f(x)=alnx﹣x(a∈R).
(Ⅰ)若直线y=2x+b是函数f(x)在点(1,f
(1))处的切线,求实数a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤0成立,求实数a的取值范围.
16.(10分)请阅读问题1的解答过程,然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答:
问题1:
已知数集A={a1,a2,…an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A.若数集{a1,2,3,a4}具有性质P,求a1,a4的值.
解:
对于集合中最大的数a4,因为a4×
a4>a4,3×
a4>a4,2×
a4>a4.
所以
,
都属于该集合.
又因为1≤a1<2<3<a4,所以
.
,故a1=1,a4=6.
问题2:
已知数集A={a1,a2,…an}(0≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A.若数集{a1,1,3,a4}具有性质P,求a1,a4的值.
17.(8分)阅读下面的一段文字,并解决后面的问题:
我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况,例如,研究方程2x3﹣3x2﹣6=0的解的情况:
因为方程2x3﹣3x2﹣6=0的同解方程有x3=
+3,2x﹣3=
等多种形式,所以,我们既可以选用函数y=x3,y=
+3,也可以选用函数y=2x﹣3,y=
,通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况.因为函数的选择,往往决定了后续研究过程的难易程度,所以从函数的角度来研究方程的解的情况,首先要注意函数的选择.
请选择合适的函数来研究该方程
=
的解的个数的情况,记k为该方程的解的个数.请写出k的所有可能取值,并对k的每一个取值,分别指出你所选用的函数,画出相应图象(不需求出a,b的数值).
参考答案与试题解析
1.【解答】复数z=1﹣2i的虚部是﹣2.
故选:
2.【解答】对于A:
(x﹣2)′=﹣2x﹣3,故错误,
对于B,(cosx)′=﹣sinx,故正确,
对于C,(sin)′=cosx,故正确,
对于D,(ex)′=ex,故正确,
3.【解答】由图象可知,从左到右,图象先增,再减,再增,
故f(x)的极大值点的个数为1个,
B.
4.【解答】函数f(x)的导函数f′(x)=(1﹣x)e﹣x.
则(1﹣x)e﹣x≥0,可得x≤1,函数f(x)的单调增区间为:
(﹣∞,1].
若f(x)在(m,m+2)上单调递增,
可得m+2≤1,解得m≤﹣1.
D.
5.【解答】p:
取z1=2+i,z2=1+i,虽然满足:
z1﹣z2>0,但是z1>z2不成立,由于复数若不完全是实数,不能比较大小,因此是假命题;
“存在唯一的一个实数对(a,b)使得a﹣bi=i(2+i).”,利用复数相等的定义可知:
是真命题.
其真假情况是p假q真.
故选;
C.
6.【解答】由图得水深h越大,水的体积v就越大,故函数v=f(h)是个增函数.据四个选项提供的信息,
当h∈[O,H],我们可将水“流出”设想成“流入”,
这样每当h增加一个单位增量△h时,
根据鱼缸形状可知,函数V的变化,开始其增量越来越大,但经过中截面后则增量越来越小,
故V关于h的函数图象是先凹后凸的,曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大,后又逐渐变小,
故选A.
7.【解答】由图象可知,函数的增长越来越快,故函数在该点的斜率越开越大,
∵
=a,
∴f′
(1)<a<f′
(2),
8.【解答】由题意,导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象,并且最低点为(1,1),所以原函数在x=1出的导数为1,由此排除选项A,B;
再由导函数的定义域为R,而排除选项C;
故选D.
9.【解答】原式=
=﹣i+2,
故答案为:
2﹣i.
10.【解答】f(x)=
=1+
∴f′(x)=(1+
)′=﹣
11.【解答】∵f(x)=ax+cosx,
∴f′(x)=a﹣sinx,
∵f(x)=ax+cosx在(﹣∞,+∞)上是单调增函数,
∴a﹣sinx≥0在(﹣∞,+∞)上恒成立,
∴a≥1.
[1,+∞).
12.【解答】∵an+2an+1=7×
3n﹣1,且a1=1,
∴1+2a2=7,a2+2a3=7×
3,
解得a2=3,a3=9.
由an+2an+1=7×
3n﹣1,变形为:
an+1﹣3n=﹣
∴由a1=1,可得a2=3,同理可得a3=32,
依次递推可得:
an=3n﹣1.
故答案分别为:
9;
3n﹣1.
13.【解答】
(Ⅰ)6,3
(Ⅱ):
f'
(x)=3ax2+2bx+c,
由已知表格可得
解得
(Ⅲ):
由(Ⅱ)可得f'
(x)=﹣2x2+4x+6=﹣2(x﹣3)(x+1),
因为x∈(﹣∞,﹣1)和x∈(3,+∞)时f'
(x)<0,x∈(﹣1,3)时f'
(x)>0,
所以f(x)的单调增区间为(﹣1,3),单调减区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞).
14.【解答】
只需证AB⊥平面BCD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
由已知AB⊥BC,只需证AB⊥DC,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
假设在平面ABE内存在直线与DC平行,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
所以DC∥AE,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
所以AC=DE,这与AC=2DE矛盾,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
故答案为AB⊥平面BCD;
AB⊥DC;
在平面ABE内存在直线与DC平行;
DC∥AE;
AC=2DE.
15.【解答】
(本小题12分)
(Ⅰ)解:
因为
,x>0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
由已知可得f'
(1)=a﹣1=2,解得a=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
因为f
(1)=﹣1,所以﹣1=2+b,解得b=﹣3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
(Ⅱ)解1:
当a<0时,因为
,所以不合题意.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
当a=0时,f(x)=﹣x对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≤0成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
当a>0时,令f'
(x)=0,解得x=a,f'
(x),f(x)情况如下:
(0,a)
a
(a+∞)
(x)
+
﹣
f(x)
↗
极大值
↘
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)
所以f(x)的最大值为f(a).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
所以,依题意有f(a)=alna﹣a=a(lna﹣1)≤0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)
因为a>0,所以lna≤1,即a≤e.
综上,所求a的取值范围为[0,e].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
解2:
对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤0成立,即
成立,
设
,显然
不恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
当a=0时,不等式显然成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
当a>0时,则
,g'
(x),g(x)的情况如下:
x
(0,e)
e
(e+∞)
g'
g(x)
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)
所以g(x)的最大值为g(e)=ae﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
故只需ae﹣1≤1,即a≤e.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)
16.【解答】对于集合中最大的数a4,因为a4+a4>a4,3+a4>a4,1+a4>a4;
所以a4﹣a4,a4﹣3,a4﹣1都属于该集合;
又因为0≤a1<1<3<a4,所以a4﹣a4<a4﹣3<a4﹣1<a4;
所以a1=a4﹣a4=0,a4﹣3=1,a4﹣1=3,故a1=0,a4=4.
17.【解答】k的可能取值为0,1,2,3;
当k=0时,选用函数y=ex与y=ax2+bx研究,其图象如下,
;
当k=1时,选用函数y=ex与y=ax2+bx研究,其图象如下,
当k=2时,选用函数y=ex与y=ax2+bx研究,其图象如下,
当k=3时,选用函数y=
与y=ax+b研究,其图象如下,
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