第七章三角形Word格式.docx
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3、利用多种正多边形进行镶嵌
用两种不同的正多边形镶嵌:
(1)3个正三角形和2个正方形
(2)2个正三角形和2个正六边形
用三种不同的正多边形镶嵌:
正三角形、正八边形和正二十四边形就可以进行镶嵌。
(二)经典例题
例1:
已知三条线段的比是:
①1:
3:
4;
②1:
2:
3;
③1:
4:
6;
④3:
⑤6:
6:
10;
⑥3:
5.其中可构成三角形的有()毛A.1个B.2个C.3个C.4个
[考点透视]本例主要是考查三角形的三边关系:
三角形的任意两边和大于第三边,任意两边的差小于第三边
[参考答案]B
例2:
如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是()
A.6<
L<
15B.6<
16C.11<
13D.10<
16
[考点透视]本例同样是考查三角形三边的关系,只不过问题是周长的取值范围,这是本题的失分点,
[参考答案]D
例3:
现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取()
A.10cm的木棒B.20cm的木棒;
C.50cm的木棒D.60cm的木棒
[考点透视]本例考查三角形三边的关系在实际生活中的应用,主要是考查学生的应用意识
(三)适时训练
与三角形有关的线段过关训练
1.下图中有几个三角形?
用符号表示这些三角形.
2.下列说法:
(1)等边三角形是等腰三角形;
(2)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;
(3)三角形的两边之差大于第三边;
(4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.若三线段a,b,c满足a>b>c,若能构成一个三角形,则只需满足条件( ).
A.a+b>c B.b+c>a C.c+a>b D.b+c≠a
4.若三角形三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.则此三角形为( ).
A.不等边三角形B.一般等腰三角形
C.等边三角形D.B、C都有可能
5.现有两根木棒,它们的长分别为40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架(不计接头),则在下列四根木棒中应选取()
A.10cm长的木棒B.40cm长的木棒C.90cm长的木棒D.100cm长的木棒
6.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是()
A.3cm,12cm,8cmB.6cm,8cm,15cm
C.2.5cm,3cm,5cmD.6.3cm,6.3cm,12.6cm
7.已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于()
A.12B.12或15C.15D.15或18
8.三角形两边长为2和9,周长为偶数,则第三边长为( ).
A.7B.8C.9D.10
9.等腰三角形的底边长为8cm,则腰长的范围是()
A.大于4cm且小于8cm
B.大于4cm且小于16cm
C.大于8cm且小于16cm
D.大于4cm
10.若三角形三边长是三个连续自然数,其周长m满足10<m<22,则这样的三角形有()个.
A.2B.3C.4D.5
11.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,则第三边长x的取值范围是____.若x是奇数,则x的值是______;
这样的三角形有______个;
若x是偶数,则x的值是______;
这样的三角形又有________个.
12.△ABC周长27,三边长为三个连续奇数,则最长边长为_______,最短边长为_________.
13.a,b,c为△ABC的三边,化简
=___________.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,试说明AC>
(BD+CD).
15.已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为多少?
16.已知:
P为△ABC内任意一点.求证:
PA+PB+PC>
(AB+BC+CA).
17.(综合题)已知a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b-2)2+│c-3│=0,且a为方程│x-4│=2的解,求△ABC的周长,判断△ABC的形状.
答案
1.解:
图中共有8个三角形,分别是:
△BCA、△BCD、△BCE、△BCO、△BOD、△COE、△BEA、△CDA.
点拨:
数三角形的个数,一定要按一定的次序去数.如按图形的形成过程数,按三角形的大小顺序数等,切忌盲目,造成重复和遗漏.
2.B点拨:
说法
(1)、(4)正确,故选B.
3.B
4.C
5.B
6.C
7.C点拨:
由题设知,等腰三角形的三边长可能为3,3,6或6,6,3.
但3+3=6,说明以3,3,6为边长构不成三角形.
∴这个等腰三角形的周长为15,故选C.
8.C
9.D
10.C
11.1cm<
x<
7cm;
3cm,5cm;
2;
2cm,4cm,6cm;
3
点拨:
∵(4-3)cm<
(4+3)cm,∴1cm<
7cm.
∵若x是奇数,则x的值是3cm,5cm;
∴这样的三角形有2个.
∵若x是偶数,则x的值是2cm,4cm,6cm;
∴这样的三角形有3个.
12.11,7
13.a+b+c
14.解:
在△ABD中,AB+AD>
BD,因AB=AC,故AC+AC-CD>
BD,即2AC>
BD+CD.
从而可知AC>
15.解:
设第三条边长为c,其余两条边长分别为a和b,且a>
b,
则有a+b+c为奇数,a-b=5,所以2b+5+c为奇数,
故c为偶数.又a-b<
c,故c>
5,c的最小值为6.
16.证明:
∴PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>AC,
∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA,
∴PA+PB+PC>
17.解:
∵(b-2)2≥0,│c-3│≥0,且(b-2)2+│c-3│=0,
∴b-2=0,c-3=0.
即b=2,c=3.
∵a为方程│x-4│=2的解,
∴a=2或6.
经检验,当a=6时,不满足三角形三边关系定理,故舍去.
∴a=2,b=2,c=3.
∴△ABC的周长为7,△ABC为等腰三角形.
三角形的高、中线与角平分线过关训练
一、填空题
1.如下图,AD是△ABC的角平分线,则∠_______=∠________=
__________;
E在AC上,且AE=CE,则BE是△ABC的_________;
CF是△ABC的高,则∠________=∠_________=90°
,CF___________AB。
2.如下图,△ABC中,BC边上的高是___________;
在△ACD中,DC边上的高是_________,在△EBC中,BC边上的高是_________,以CF为高的三角形是___________。
3.如图10,BD是△ABC的中线,AB=6cm,BC=4cm,则△ABD和△BCD的周长差为____________cm。
4.如图11,已知∠1=
∠BAC,∠2=∠3,则∠BAC的角平分线为_________,∠ABC的角平分线为_____________。
二、选择题
5.下列说法中正确的是()
(1)平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
(2)三角形的中线、高和角平分线都是线段
(3)一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线
(4)三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线
A.
(1)
(2)(3)(4)
B.
(2)(3)(4)
C.
(1)(4)
D.
(2)(3)
6.如图12,∠ABC>
90°
,AD⊥BC,交BC的延长线于D,BE⊥AC,交AC的延长线于E,CF⊥AB于点F,△ABC中BC边上的高为()
A.FC
B.BE
C.AD
D.AE
7.至少有两条高在三角形的内部的三角形是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
三、解答题
8.如图13,AD是锐角△ABC的高,AE是其中线,指出图中共有几个三个角形。
若按角分类没,分别是什么三角形?
9.等腰三角形中,一腰上的中线把三角形的周长分为6cm和15cm的两部分,求此三角形的底边的长。
10.如下图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,AB=6cm,BC=5cm,求△ABD的周长与△DBC的周长差。
四、拓展创新
11.如图15,已知AD是△ABC的高,AE是角平分线,AF是中线,写出图中相等的角和相等的线段。
五、中考热身
12.(2005·
长沙)请在作出△ABC的角平分线BD(要求保留作图痕迹)。
1.∠BAD,∠CAD,∠BAC,中线,∠CFA,∠CFB,⊥
2.ADADEB△ABC△ACF△BCF
3.2
4.ADBE
5.D
7.A
8.图中共有6个三角形.其中△ABC,△AEC是锐角三角形;
△ACD,△AED,△ABD是直角三角形;
△ABE是钝角三角形。
9.在△ABC中,AB=AC,BD是AC中线。
设AB=AC=2x,则AD=CD=x,
(1)当AB+AD=15时,BD+CD=6,即2x+x=15,x=5,得AB=AC=10,BC=1,满足两边之和大于等三边.
(2)当AB+AD=6时,BC+CD=15,即2x+x=6,x=2,BC=15—2=13,AB=AC=4,故不能组成三角形。
∴三角形的腰长为10,底边长为1.
10.△ABD的周长—△DBC的周长(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB+BD+AD—BC—BD—CD=AB—BC+(BD—BD)+(AD-CD)=AB—BC=6—5=1cm
11.相等的角:
∠BAE=∠CAE,∠ADB=∠ADC;
相等的线段:
BF=CF.
12.略
三角形的稳定性应用与了解
1.现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架,如图3,其主要作用是:
使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工,为什么矩形脚手架外,还要用较长的铁管斜着和遇见的每一根矩形的边都要加以固定?
不加这些长的斜铁管行吗?
不与每一根遇到的边固定行吗?
2.矩形虽然不稳定,但它外形整齐,且容易向人们所需要的方向整齐地伸展;
三角形稳定,但它有尖有棱,不易向人们所需的方向伸展,所以很多用钢条组合成的建筑(大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架)都让这二者结合起来,用矩形作为外形,把矩形再加上——条或几条线化分为几个三角形,使其结构稳定而结实.你能再举出既达到美观实用,又能有很好的稳定性,且结实耐用的四边形(主要是矩形)与三角形相结合的例子吗?
3.四边形的不稳定性是它的缺点,但我们仍可利用其”缺点”为我们服务。
课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子.民间艺人做成的工艺品仙鹤可以做不同动作,其中仙鹤的长脖子能伸能缩很逗人喜爱?
其脖子是用——些连结白勺平行四边形构成的,除此之外,你见过其他利用四边形不稳定性来为我们服务的例子吗?
与三角形有关的角过关训练
一、选择题:
(每小题3分,共21分)
1.如果三角形的三个内角的度数比是2:
4,则它是()毛
A.锐角三角形B.钝角三角形;
C.直角三角形D.钝角或直角三角形
2.下列说法正确的是()
A.三角形的内角中最多有一个锐角;
B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角;
D.三角形的内角都大于60°
3.已知三角形的一个内角是另一个内角的
是第三个内角的
则这个三角形各内角的度数分别为()
A.60°
90°
75°
B.48°
72°
60°
C.48°
32°
38°
D.40°
50°
4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为()
A.100°
B.120°
C.140°
D.160°
5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中()
A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角
C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角
7.在△ABC中,∠A=
∠B=
∠C,则此三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
二、填空题:
(每小题3分,共15分)
1.三角形中最大的内角不能小于_______度,最小的内角不能大于______度.
2.如图
(1),∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______;
如图
(2),∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______.
3.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°
则此三角形的最小内角的度数是________.
4.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;
若∠A+∠B<
∠C,则此三角形是_____三角形.
5.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:
2,则这个等腰三角形的顶角为_______.
6.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°
则∠A=_______度.
7.如图所示,已知∠1=20°
∠2=25°
∠A=35°
则∠BDC的度数为________.
三、基础训练:
(每小题15分,共30分)
1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>
∠B),试说明∠EAD=
(∠C-∠B).
2.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°
∠C-∠B=20°
求三角形各内角的度数.
四、提高训练:
(共15分)
如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°
∠D=28°
求∠P的度数.
五、探索发现:
如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.
六、中考题与竞赛题:
(共4分)
(2001·
天津)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°
则∠EDF=________度.
一、1.A2.C3.B4.B5.C6.C7.B
二、1.60,60
2.360°
,360°
3.40°
4.直角钝角
5.36°
或90°
6.84
7.80°
三、1.解:
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=90°
∴∠BAD=90°
-∠B,
又∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=
∠BAC=
(180°
-∠B-∠C),
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE
=90°
-∠B-
-∠B-∠C)
-∠B-90°
+
∠B+
∠C
=
∠C-
∠B
2.∠A=50°
∠B=55°
∠C=75.
四、∠P=30°
五、解:
∵∠1=180°
-2∠CEF,∠2=180°
-2∠CFE,
∴∠1+∠2=360°
-2(∠CEF+∠CFE)
=360°
-2(180°
-∠C)
-360°
+2∠C=2∠C.
六、68.毛
多边形的内角和过关训练
填空
1,十边形的内角和为度,正八边形的每个内角为度.
2,已知一个多边形的内角和为1080°
,则它的边数为.
3,若一个多边形,则它是十边形。
4,如果一个多边形的边数增加1,则它的内角和将()
A增加90°
B增加180°
C增加360°
D不变
1.1440,1352.84.B
说明:
第3题是一个条件开放型题,答案可填①有十个顶点,②有十个内角,③内角和为1440°
。
【设计意图】通过该组练习题的训练,既巩固了新知,又训练了学生思维的灵活性.
镶嵌
1、
2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个
时,就拼成一个平面图形。
3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有三种。
4、某中学新科技馆铺设地面,已有正三角形形状的地砖,现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖,与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌,则该学校不应该购买的地砖形状是
A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形
5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖,用来铺设无缝地板,他购买的瓷砖形状不可以是
A正方形B矩形C正八边形D正六边形
6、右图是一块正方形地板砖,上面的图案由一个小正方形和四
个等腰梯形组成,小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的,
小明发现地板上有正八边形图案,那么地板上的两个正八边形图
案需要这样的地板砖至少A8块B9块C11块D12块
7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来,不能镶嵌成平面的是
A、正三角形B、正五边形C、正六边形D、正八边形
8在综合时间活动课上,小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫,坐垫的图案如图所示,应该选下图中的哪一块布料才能使其与图
(1)
拼接符合原来的图案模式?
()
(图1)
A.B.C.D.
三、解答下列问题
9、请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案。
10、试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案,你能想出几种方法?
1、16、4n+42、周角
3、正三角形、正四边形、正六边形
4、C5、C6、A7、B,8、C
9、
10、
12、方法如图所示:
(还有很多)
11、
本章测试(时间:
90分钟满分:
100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是()
A.2cm,3cm,5cmB.5cm,6cm,10cm
C.1cm,1cm,3cmD.3cm,4cm,9cm
2.等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是()
A.17B.22C.17或22D.13
3.适合条件∠A=
∠C的△ABC是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
4.已知等腰三角形的一个角为75°
,则其顶角为()
A.30°
B.75°
C.105°
D.30°
或75°
5.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°
,这个多边形的边数是()
A.5B.6C.7D.8
6.三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定
7.下列命题正确的是()
A.三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B.三角形中至少有一个内角不小于60°
C.直角三角形仅有一条高
D.直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
8.能构成如图所示的基本图形是()
第8题图(A)(B)(C)(D)
9.已知等腰△ABC的底边BC=8cm,│AC-BC│=2cm,则腰AC的长为()
A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm
10.如图1,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律,你发现的规律是()
A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2(∠1+∠2)
(10题)(13题)(14题)
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案填在题中横线上)
11.三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值范围是________.
12.四条线段的长分别为5cm、6cm、8cm、13cm,以其中任意三条线段为边可以构成___个三角形.
13.如果一个正多边形的内角和是900°
,则这个正多边形是正______边形.
14.n边形的每个外角都等于45°
,则n=________.
15.乘火车从A站出发,沿途经过3个车站方可到达B站,那么A、B两站之间需要安排______种不同的车票.
16.将一个正六边形纸片对折,并完全重合,那么,得到的图形是________边形,它的内角和(按一层计算)是_______度.
三、解答题(本大题共6小题,共46分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(6分)如图,BD平分∠ABC,DA⊥AB,∠1=60°
,∠BDC=80°
,求∠C的度数.
18.(8分)如图:
(1)画△ABC的外角∠BCD,再画∠BCD的平分线CE.
(2)若∠A=∠B,请完成下面的证明:
已知:
△ABC中,∠A=∠B,CE是外角∠BCD的平分线.
求证:
CE∥AB.
19.(8分)
(1)如图4,有一块直角三角形XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC
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- 第七 三角形