北京市高考数学试卷文科答案与解析.doc
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2012年北京市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.(5分)(2012•北京)已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},则A∩B=( )
A.
(﹣∞,﹣1)
B.
(﹣1,)
C.
﹙,3﹚
D.
(3,+∞)
考点:
一元二次不等式的解法;交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
求出集合B,然后直接求解A∩B.
解答:
解:
因为B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1或x>3},
又集合A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x},
所以A∩B={x|x}∩{x|x<﹣1或x>3}={x|x>3},
故选:
D.
点评:
本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查计算能力.
2.(5分)(2012•北京)在复平面内,复数对应的点的坐标为( )
A.
(1,3)
B.
(3,1)
C.
(﹣1,3)
D.
(3,﹣1)
考点:
复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
由==1+3i,能求出在复平面内,复数对应的点的坐标.
解答:
解:
∵=
==1+3i,
∴在复平面内,复数对应的点的坐标为(1,3),
故选A.
点评:
本题考查复数的代数形式的乘积运算,是基础题.解题时要认真审题,注意复数的几何意义的求法.
3.(5分)(2012•北京)设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:
由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可.
解答:
解:
其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4,
满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部,
面积为=4﹣π,
∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选:
D.
点评:
本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值.
4.(5分)(2012•北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.
2
B.
4
C.
8
D.
16
考点:
循环结构.菁优网版权所有
专题:
算法和程序框图.
分析:
列出循环过程中S与K的数值,不满足判断框的条件即可结束循环.
解答:
解:
第1次判断后S=1,k=1,
第2次判断后S=2,k=2,
第3次判断后S=8,k=3,
第4次判断后3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:
8.
故选C.
点评:
本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力.
5.(5分)(2012•北京)函数f(x)=的零点个数为( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
考点:
根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
先判断函数的单调性,由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数,故函数f(x)为单调增函数,而f(0)<0,f()>0
由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点
解答:
解:
函数f(x)的定义域为[0,+∞)
∵y=在定义域上为增函数,y=﹣在定义域上为增函数
∴函数f(x)=在定义域上为增函数
而f(0)=﹣1<0,f
(1)=>0
故函数f(x)=的零点个数为1个
故选B
点评:
本题主要考查了函数零点的判断方法,零点存在性定理的意义和运用,函数单调性的判断和意义,属基础题
6.(5分)(2012•北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( )
A.
a1+a3≥2a2
B.
a12+a32≥2a22
C.
若a1=a3,则a1=a2
D.
若a3>a1,则a4>a2
考点:
等比数列的性质.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;若a3>a1,则a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故可得结论.
解答:
解:
设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确;
,∴,故B正确;
若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确;
若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故D不正确
故选B.
点评:
本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.
7.(5分)(2012•北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
A.
28+6
B.
30+6
C.
56+12
D.
60+12
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
立体几何.
分析:
通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可.
解答:
解:
三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形,
一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图,
所以S底==10,
S后=,
S右==10,
S左==6.
几何体的表面积为:
S=S底+S后+S右+S左=30+6.
故选:
B.
点评:
本题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力.
8.(5分)(2012•北京)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为( )
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11
考点:
函数的图象与图象变化;函数的表示方法.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率,结合图象可得答案.
解答:
解:
若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点
则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高,
故选C
点评:
本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义,其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键.
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)(2012•北京)直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为 .
考点:
直线与圆相交的性质.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
确定圆的圆心坐标与半径,求得圆心到直线y=x的距离,利用垂径定理构造直角三角形,即可求得弦长.
解答:
解:
圆x2+(y﹣2)2=4的圆心坐标为(0,2),半径为2
∵圆心到直线y=x的距离为
∴直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为2=
故答案为:
点评:
本题考查直线与圆相交,考查圆的弦长,解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离,利用垂径定理构造直角三角形求得弦长.
10.(5分)(2012•北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2= 1 ,Sn= .
考点:
等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
根据等差数列的性质可求出公差,从而可求出第二项,以及等差数列的前n项和.
解答:
解:
根据{an}为等差数列,S2=a1+a2=a3=+a2;
∴d=a3﹣a2=
∴a2=+=1
Sn==
故答案为:
1,
点评:
本题主要考查了等差数列的前n项和,以及等差数列的通项公式,属于容易题.
11.(5分)(2012•北京)在△ABC中,若a=3,b=,,则∠C的大小为 .
考点:
正弦定理.菁优网版权所有
专题:
解三角形.
分析:
利用正弦定理=,可求得∠B,从而可得∠C的大小.
解答:
解:
∵△ABC中,a=3,b=,,
∴由正弦定理=得:
=,
∴sin∠B=.又b<a,
∴∠B<∠A=.
∴∠B=.
∴∠C=π﹣﹣=.
故答案为:
.
点评:
本题考查正弦定理,求得∠B是关键,易错点在于忽视“△中大变对大角,小边对小角”结论的应用,属于基础题.
12.(5分)(2012•北京)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= 2 .
考点:
对数的运算性质.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lg(ab).由此能求出结果.
解答:
解:
∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,
f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2
=lg(ab)2=2lg(ab)=2.
故答案为:
2.
点评:
本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
13.(5分)(2012•北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为 1 .
考点:
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用.
分析:
直接利用向量转化,求出数量积即可.
解答:
解:
因为====1.
故答案为:
1
点评:
本题考查平面向量数量积的应用,考查计算能力.
14.(5分)(2012•北京)已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2.若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是 (﹣4,0) .
考点:
复合命题的真假;全称命题.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
由于g(x)=2x﹣2≥0时,x≥1,根据题意有f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x>1时成立,根据二次函数的性质可求
解答:
解:
∵g(x)=2x﹣2,当x≥1时,g(x)≥0,
又∵∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0
∴此时f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面
则
∴﹣4<m<0
故答案为:
(﹣4,0)
点评:
本题主要考查了全称命题与特称命题的成立,指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(13分)(2012•北京)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递减区间.
考点:
三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的定义域和值域;复合三角函数的单调性.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
(1)由sinx≠0可得x≠kπ(k∈Z),将f(x)化为f(x)=sin(2x﹣)﹣1即可求其最小正周期;
(2)由
(1)得f(x)=si
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- 北京市 高考 数学试卷 文科 答案 解析