运筹学例题解析Word格式文档下载.docx
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2x1X25
⑶约束条件如下:
s.tX23X
X1,X20
1所示,其中可行域用阴影部分
2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图
结论:
本题解的情形是:
无穷多最优解,理由:
目标函数等值线z=2X1+X2与
约束条件2x1+X2w5的边界平行。
甲、乙两种产品的最优产量分别为(5,0)或(1,3)单位;
最大销售利润值等于5百元。
(二)图论问题的建模与求解样题
A.正考样题(最短路问题的建模与求解,清华运筹学教材编写组第三版267-268页例
13)某企业使用一台设备,每年年初,企业都要做出决定,如果继续使用旧的,要付维修费;
若购买一台新设备,要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入,连续使用1年、2年、
3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的
更新计划,使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
(1)建立
某种图论模型;
(2)求出最少总支出金额。
表2
枪畚吋购匹絲乌草條霽(单注:
万
那1年
工2旷
需J年
牌畑
II
"
Ti
12
12B
机81督非
0电1
172
27
344S
it惰烧
a
n10
(1)建立图论一一最短路问题模型。
1设点V表示第i年年初,虚设一个点V6,表示第五年年底;
2弧(Vi,Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉
并获得残值收入;
3弧(Vi,V)上的权数表示第i年初购进一台设备,一直使用到第j年初所需支付的购
买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用(单位:
万元)。
例如:
弧(V1,V4)上的费用权数
(2)用Dijkstra法求解从V1到V的最短路。
给起点V1标号(0,v1);
={V1};
J={v2,v3,v4,v5,v6}弧集合{[v1,v2]、[v1,v3]、[v1,v4]、[v1,v5]、[v1,v6]}
S12=l1+b12=0+8=8;
s13=11+b13=0+16=16;
s14=11+b14=0+27=27;
S15=l1+b15=0+41=41;
s16=l1+b16=0+59=59
min{s12,s13,s14,s15,s16}=min{8,16,27,41,59}=8=s
12=l2
•••给V2标号(8,vi)
={v1,v2}J={v3,v4,v5,v6}
弧集合{[v1,V3]、[v1,V4]、[v1,V5]、[v1,V6]、[v2,v3]、[v2,v4]、[v2,v5]、[V2,V6]}
s23=l2+b23=8+8=16;
s24=l2+b24=8+16=24;
s25=l2+b25=8+27=35;
s26=l2+b26=8+41=49
■/min{si4,si5,si6,s23,s24,s25,s26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16=S13或S23=l3,
任选一个si3,选择给V3标号(16,vi)。
={v1,v2,v3}J={v4,v5,v6}弧集合{[v1,v4]、[v1,v5]、[v1,v6]、[v2,v4]、[v2,v5]、[v2,v6]、
[v3,v4]、[v3,v5]、[v3,v6]}
s34=l3+b34=16+9=25;
s35=l3+b35=16+27=35;
s26=l2+b26=8+41=49
min{si4,si5,si6,s24,s25,s26,s34,s35,s36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s24=14
•••给V4标号(24,v2)
={v1,v2,v3,v4}J={v5,v6}弧集合{[v1,v5]、[v1,v6]、[v2,v5]、[v2,v6]、
[v3,v5]、[v3,v6]、[v4,v5]、[v4,v6}
s45=l4+b45=24+9=33;
s46=l4+b46=24+17=41
■/min{s©
s16,s25,s26,s35,s36,s45,s46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s45=l5.•.给V5
标号(33,v4)
={v1,v2,v3,v4,v5}J={v6}弧集合{[v1,v6]、[v2,v6]、[v3,v6]、[v4,v6]、[v5,v6]}
s56=l5+b56=33+10=43■/min{s16,s26,s36,s46,s56}=min{59,49,49,41,43}=41=s46=16•••给V6
标号(41,v4)
={①}J={①}计算终止。
由终点V6标号反向追踪,可得到V1到V6的最短路:
V12^V4^V6,长度为丨6=41,即5
年内该设备的最小总支出金额为41万元。
B.考题复习知识点:
1.最短路问题求解的基本思想请查阅课本或其他参考书籍,自行简答总结。
2.掌握用上述“Dijkstra标号法”求解的步骤和处理方法,考试时书写格式请参照本样题。
3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。
考试题比此题计算量小。
4.掌握图论问题建模的程序,会说明图论模型各组分(弧或边、节点、权数)的实际涵义。
(三)动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求
解)
A.正考样题及其解答:
某厂设计一种电子设备,由三种元件D、D2、D3组成。
已知
这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4,要求在设计中所使用元件的费用不超过
105元,重量不超过21克。
问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
解:
(1)建立动态规划模型
1按元件的种类数划分阶段,k=1,2,3。
每阶段阶段第k种元件并联几个。
2状态变量xk表示第k阶段初尚未使用的费用;
状态变量yk表示第k阶段初剩余的可
增加重量。
显然X1=105,y1=21,xk>
O,yk>
0。
③决策变量Uk表示第k阶段元件D并联的个数。
允许决策集合:
Dk(xk,yk)=uk
Xk-Ckyk-wk
1<
Uk<
min([j=k+1],[j=k+1],k=1,2
ckwk
Xy
U3<
min([丄],[亠]
C3W3
Ck表示第k种元件的单位费用;
w表示第k种元件的单位重量;
4状态转移方程:
Xk+1=xk-ck•uk;
yk+1=yk-Wk•uk。
H
ckU)=1-(1-Pk)*
5阶段指标函数dk(Uk)表示元件B正常工作的概率;
最优指标函数fk(Xk,yk)
表示从元件D到元件D正常运行的最大概率。
6逆序解法的基本方程如下:
fk(xk,yk)max、dk(Uk)fk1(xk1,yk1)k=3,2,1
UkDk(x<
yk)
彳4(“4)1
(2)用逆序解法求解
①第3阶段,k=3
f3(X3」3)=max
X3y3
1旬3《min['
],[]
205
d3(U3)
1-(1-
0.5)
U3
②第2阶段,k=2
f2(X2,y2)max。
y
Ku?
vmin([:
仆],七
5])[1-(1-0.8)U2]f3(X2沁必W2U2)
3第1阶段,k=1u
],[屮
f1(X1,yJXmax5y54[1-(1-0.9)U1]f2(X130u1,y3uJ
X12015y154
1<
U1市in([J-],[1])
303
4由于xi=105,y1=21,故问题为求出f1(105,21)即可。
而
fi(105,21)
max[1-(1-0.9)U1]f2(10530u1,213u1)
],[
10520152154」2'
1,1f
U1<
min([],[,])
max0.9f2(75,18),0.99f2(45,15)
u1<
2
f2(75,18)
max
7520
18」⑴0.8)U2]
f3(75
15u2,184u2)
f2(45,15)
4520155
1©
2<
min([],[.
2154
[1
])
-(1-
0.8)
U2]f3(4515u
2,15
4U2)
=
max0.8f3(30,11)
U21
0.8f3(30,11)
f3(60,14)
max[1
U3<
min([60],[:
(1-
1
U3]
max(0.5,0.75)
2'
0.
75
f3(45,10)
max[1
451011
min([],[_])
3盯丁
-0.5)
U3]
max(0.5,0.
U3<
2
75)
0.75
f3(30,6)
max[1-
max(0.5)0
.5
u3<
min([],[])
u3=1
f3(30,11)
3011
min([,],[])
max(0.5)
U3=1
0.5
f2(45,15)
0.8f3(30,11)
0.8
0.4
0.992
f3(30,6)
12Wmin([
max0.8f3(60,14),0.96f3(45,10),
u2<
15
f2(75,18)=max0.80.75,0.960.75,0.9920.5
0.72
f1(105,21)=max0.90.72,0.990.40.648
状态转移图如下:
*
I
<
1*1(105^1)=0.*
酚議2
TCj-1=2-151»
2v»
—v>
-4u>
尉段1
求得U1=1,u2=2,u3=2为最优方案,即Di、D2、D3三种元件分别并联1个、2个和2个。
总费用为100元,总重量为21克,可靠性为。
B.正考复习知识点:
1.会按照样题解答那样分六步建立动态规划模型。
文字说明方面:
准确说明各种变量的
实际涵义;
数学表达方面:
能正确、规范地写出逆序解法的基本方程,阶段变量必须逆着写取值,明确边界条件;
在建模时对取值明确的状态变量应该说明其具体值;
会以规范的集合
语言写出允许决策集合的具体形式;
具体写出状态转移方程函数形式;
写出阶段指标函数的数学表达式。
考试题目比此题的计算量要小,而且未必会考两个状态的情形。
2.比照样题中的解答步骤来书写答题过程,会绘制“状态转移图”并以此得出结论,会
得出全过程最优指标函数值并给出依据。
3.清华大学教材编写组编写《运筹学》第三版237-238页例8计算过程可以参考(但
fk(Sk)中xk的范围有错,请按照课件第四章50-53张例来改正,答题格式也须参照后者。
(四)线性目标规划或运输问题的建模和求解
A.正考样题一一非标准运输问题的建模与“表上作业法求解”
有三个发电站产地Bi,B2,B3需要从两个煤矿Ai,A购买煤炭,各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价(千元)如表5所示。
问如何调运煤炭,使得总运输费用最小表5产销平衡表和单位运价表
发电站B
煤矿A
Bi
B2
Bb
产量(万吨)
A
23
62
6
77
21
每月对煤的需求量(万吨)
(1)请建立该问题的线性规划模型,如果有必要再化为标准问题。
(2)用表上作
业法求解:
用最小元素法确定初始方案;
用闭回路法或者位势法验证初始方案是否最优如果非最优,请用闭回路法调整,直至求出最优方案。
(1)
设产地
(i=1,2)调运到销地
Bj(j=1,2,3)
的煤炭为
Xij万吨,可建立以下模型
min
z
23
i1j
Cij
Xij23X1162X12
23X1315X21
77X22
21X23
X11
X12
X13
X21
X22
X23
s.t.
Xij
0(i
1,2;
j1,2,3)
(2)因为总产量8万吨(=6+2)小于总需求量9万吨(=3+1+5),所以本问题不是标准运输
问题。
增加一个虚拟产地A3,它的单位运价C31=C32=C33=0,产量为9-8=1(万吨)。
(3)第一步:
用最小元素法确定初始方案(方案可能有以下三种,随着添加0位置不同而不同)
23(0)—62^―23(5)6
(1)(0)
―77——21——^-(6)—
―00——1—(0)—
315
⑵(0)(0)
(0)
方法二:
伏格尔法(本题用此法求出的初始基可行解就是最优解)
法一:
用位势法求检验数。
种初始方案
)是否最优。
求解见表6所示:
销地
产地
B1
B3
U
-8
-39
-23
V
表6
因为min((T22,(T23,(T32,(T33|(Tij<
0)=(T32=-39<
0,所以初始方案并非最优方案,
需进一步调
整,X32为进基变量。
法二:
用闭回路法求检验数
23(0)62
(1)23⑸
15⑵7721t22=77-15+23-62=23;
t23=21-15+23-23=6;
t33=0-0+23-23=0;
t32=0-0+23-62=-39(注:
图中画出了非基变量X32的闭回路);
因为min(T22,T23,T32,T33|Tij<
0)=T32=-39<
0,,所以初始方案并非最优方案,需进一步调整,X32为进基变量。
第三步:
求B值,调整初始方案。
过程如下:
021
以X32作为进基变量。
调整量9=min(1,1)=1,按照左图所示进行调
整,选择X31作为出基变量。
方案调整后为方案二(注:
另一个基可行解),如下:
105
用位势法可求出方案二非基变量检验数,见表7。
A1
39
-62
r\
曰z
r、、■
表7
因为非基变量检验数b22,(T23,b31,b33>
0,
决策结论:
产地A向销地B调运煤炭1万吨,向销地B调运煤炭5万吨;
产地A向销地B调运煤炭2万吨;
销地B的需求量由虚拟产地As来满足,实际上它的需求量1万吨完全未得到满足。
最小总运费=23X1+0X62+23X5+15X2+0X仁168(千元)。
(1)本题是“销大于产”的非标准问题,但考试时也有可能考“产大于销”的非标准
化问题。
那么后一种情况该如何建模、标准化处理呢请参看课件第一章“运输问题”的相应
内容:
96-98张。
(2)掌握运输问题求解的“表上作业法”(非标准问题标准化后才能求解)。
确定初始方案请熟练掌握“最小元素法”即可,对“伏格尔法”不需要掌握;
求方案的检验数请务必
掌握“位势法”;
对方案的优化改进,能找出进基变量的闭回路、确定B值,并对方案加以优化调整。
掌握变量检验数的经济含义(第三版84页最后两段)
(3)最优方案是唯一的,还是有多个呢能给出判断依据,并且得出最优方案、最优目标函数值。
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