北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题及参考答案.doc
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海淀区2018-2019高一年级期末统一考试
数学
2019.01
学校班级姓名成绩0
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合,,则()
(A) (B) (C) (D)
(2)已知向量,,且,则()
(A) (B) (C) (D)
(3)下列函数中,既是奇函数又在上是增函数的是()
(A) (B) (C) (D)
(4)命题,则是()
(A) (B)
(C) (D)
(5)已知,,则()
(A) (B) (C) (D)
(6)若角的终边经过点,则下列三角函数值恒为正的是()
(A) (B) (C) (D)
(7)为了得到函数的图象,只需把函数的图象上的所有点()
(A)向左平移个单位长度 (B)向左平移个单位长度
(C)向右平移个单位长度 (D)向右平移个单位长度
(8)如图,在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆相交于点.过点的圆的切线交轴于点,点的横坐标关于角的函数记为.则下列关于函数的说法正确的是()
(A)的定义域是
(B)的图象的对称中心是
(C)的单调递增区间是
(D)对定义域内的均满足
二、填空题:
本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上.
(9)已知,则.
(10)已知,,则______;______.
(11)已知集合,,集合满足,.则一个满足条件的集合是.
(12)已知是定义域为的偶函数,当时,,则不等式的解集是.
(13)如图,扇形中,半径为1,的长为2,则所对的圆心角的大小为弧度;若点是上的一个动点,则当取得最大值时,.
(14)已知函数
(Ⅰ)若函数没有零点,则实数的取值范围是________;
(Ⅱ)称实数为函数的包容数,如果函数满足对任意,都存在,使得.
在①;②;③;④;⑤中,函数的包容数是________.(填出所有正确答案的序号)
三、解答题:
本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题共11分)
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求的单调递增区间;
(Ⅲ)在给定的坐标系中作出函数的简图,并直接写出函数在区间上的取值范围.
(16)(本小题共10分)
已知函数,存在不等于1的实数使得.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判断函数在上的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)直接写出与的大小关系.
(17)(本小题共11分)
如图,在四边形中,,,,且.
(Ⅰ)用表示;
(Ⅱ)点在线段上,且,求的值.
(18)(本小题共12分)
设函数定义域为,对于区间,如果存在,,使得,则称区间为函数的ℱ区间.
(Ⅰ)判断是否是函数的ℱ区间;
(Ⅱ)若是函数(其中)的ℱ区间,求的取值范围;
(Ⅲ)设为正实数,若是函数的ℱ区间,求的取值范围.
附加题:
(本题满分5分。
所得分数可计入总分,但整份试卷得分不超过100分)
声音靠空气震动传播,靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述,图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图,其中纵坐标表示音量(单位:
50分贝),横坐标代表时间(单位:
秒).
①②
声音的音调由其频率所决定,未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线,为了简便起见,在截取时局部音量和相位做了调整,使得二者音量相当,且横坐标从0开始.已知点位于图④中波形曲线上.
③④
(Ⅰ)描述未成年女性声音的声波图是_____;(填写①或②)
(Ⅱ)请你选择适当的函数模型,来模仿图④中的波形曲线:
___________________________(函数模型中的参数取值保留小数点后2位).
高一年级期末统一练习
数学
参考答案及评分标准2019.01
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
D
B
C
D
B
A
B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题4分,共24分.
(9)(10);(11)(或或)
(12)或(13);0(14)或;②③
注:
两空的题,每空2分;(12)题对一半(只答出,或),给2分;(14)题第一空,答对一半给1分,第二空,有错选,此空得0分,若只少选一个给1分。
三、解答题:
本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分11分)
解:
(Ⅰ).……………………2分
(Ⅱ)由,得……………………4分
,.
所以函数的单调递增区间是:
,.……………………6分
(Ⅲ)函数的简图如图所示.
……………………8分
函数在区间上的取值范围是.
……………………11分
注:
中每一个端点正确给1分,括号正确1分。
(16)(本小题满分10分)
解:
(Ⅰ)因为实数使得,
所以,……………………1分
即.
因为,
所以,即.……………………3分
经检验,满足题意,所以.
(Ⅱ)函数在上单调递增,证明如下:
……………………4分
任取,,当时,.
所以.……………………6分
所以……………………7分
,即.
所以函数在上单调递增.……………………8分
(Ⅲ)当时,;
当时,.……………………10分
注:
直接答,给2分;若只有,给1分。
(17)(本小题满分11分)
(Ⅰ)因为,
所以.……………………1分
因为,
所以……………………3分
.……………………5分
(Ⅱ)因为,
所以.……………………6分
因为,
所以点共线.
因为,
所以.
以为坐标原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
因为,,,
所以.
所以,.……………7分
因为点在线段上,且,
所以.……………………8分
所以.……………………9分
因为,
所以.……………………11分
(18)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)不是函数的ℱ区间,理由如下:
……………………1分
因为对,,
所以.……………………2分
所以均有,
即不存在,,使得.
所以不是函数的ℱ区间.………………………3分
(Ⅱ)由是函数(其中)的ℱ区间,可知
存在,,使得.
所以.……………………4分
因为
所以,即.……………………5分
又因为且,
所以.……………………6分
(Ⅲ)因为是函数的ℱ区间,
所以存在,,使得.
所以……………………7分
所以存在,使得
不妨设.又因为,
所以.
所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.……………………8分
①当时,区间的长度,
所以区间内必存在两个相邻的偶数,故符合题意.……………………9分
②当时,有,
所以.
(i)当时,有即.
所以也符合题意.……………………10分
(ii)当时,有即.
所以符合题意.
(iii)当时,有即此式无解.
综上所述,的取值范围是.……………………12分
附加题
(Ⅰ)②……………………2分
(Ⅱ)(答案不唯一)……………………5分
注:
对于其它正确解法,相应给分.
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