验证拉格朗日插值及其程序设计Word文件下载.docx
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2014年
10月27日
一.实验目的
1.验证拉格朗日插值.掌握在MATLAB中实现一维插值的的函数interp1,其调用格式为Y1=interp1(X,Y,X1,method).
2.掌握拉格朗日插值方法的MATLAB程序设计,对原函数进行拟合.
3.学会拉格朗日插值方法求函数值的近似值.
二、实验内容
(一)验证拉格朗日插值
1.函数根据X,Y的值,计算函数在X1处的值.X,Y是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量,描述欲插值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果.method是插值方法,允许的插值有:
(1)’linear’:
线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线上选取对应插值点的数据.
(2)’nearest’:
最近点插值.根据已知插值点与已知数据点的远近程度进行插值.插值优先选择较近的数据点进行插值操作.
(3)’pchip’:
3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式,然后根据该多项式进行插值.
(4)’spline’:
3次样条插值.是指在每个分段(子区间)内构造一个3次多项式,时期插值函数除满足插值条件外,还要求在各节点处具有光滑的条件.
2.例1:
概率积分
的数据表如表6.1所示,用不同的方法计算f(0.472).
表6.1概率积分数据表
x
0.46
0.47
0.48
0.49
f(x)
0.4846555
0.4937542
0.5027489
05116683
例2:
某检验参数f随时间t的采样结果如表6.2,用数据插值法计算t=2,7,12,17,22,17,32,37,42,47,52,57时的f值.
表6.2检测函数f随时间t的采样结果
t
5
10
15
20
25
30
f
3.0125
2.256
879.5
1835.9
2968.8
4136.2
5237.9
35
40
45
50
55
60
65
6152.7
6725.3
6848.3
6403.5
6824.7
7328.5
7857.6
(二)程序设计
1.线性插值(一次插值)
设已知两点
,
以及
,求
满足
为拉格朗日一次函数.
2.抛物插值(二次插值)
假定三点
.设插值基函数
.
3.Lagrange插值
已知n+1个节点,
,构造
,满足
.构造插值基函数
,则
4.插值余项
在[a,b]上具有直到n+1阶导数
以
为原函数编写拉格朗日插值matlab程序。
三、实验环境
MATLABR2014a
四、实验步骤
x=0.46:
0.01:
0.49;
f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];
formatlong
(1)线性插值方法
interp1(x,f,0.472)
(2)最近点插值方法
interp1(x,f,0.472,'
nearest'
)
(3)3次样条插值方法
spline'
(4)3次多项式插值方法
cublic'
formatshort
T=0:
5:
65;
X=2:
57;
F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];
(1)用线性插值方法插值
F1=interp1(T,F,X)
(2)用最近点插值方法
F1=interp1(T,F,X,'
F1=interp1(T,F,X,'
pchip'
为原函数
1.编写M文件Rf.m
functiony=f(x);
y=1/(1+x*x);
end
2.输入matlab程序
n=input('
将区间分为的等份数输入:
'
);
s=[-1+2/n*[0:
n]];
x=-1:
1;
f=0;
forq=1:
n+1;
l=1;
%求插值基函数
fork=1:
ifk~=q;
l=l.*(x-s(k))./(s(q)-s(k));
else
l=l;
end
f=f+Rf(s(q))*l;
%求插值函数
plot(x,f,'
r'
)%作出插值函数曲线
holdon
y1=1./(1+x.*x);
plot(x,y1)
xlabel('
x'
ylabel('
y'
五、实验结果
(一)例1:
ans=
0.495553320000000
0.493754200000000
0.495560736000000
0.495561119712056
F1=
1.0e+03*
Columns1through8
0.00280.35321.26212.28913.43584.57695.60386.3817
Columns9through12
6.77456.67046.57207.0262
0.00320.00230.87951.83592.96884.13625.23796.1527
6.72536.84836.40356.8247
-0.17020.30701.25602.26983.43964.58965.63706.4229
6.85936.65356.48177.0441
0.00250.22321.24842.27363.43654.59135.63626.4362
6.79786.69176.50777.0186
(二)程序设计结果
1.n=2时,为一次插值,即线性插值
2
2.n=3时,为二次插值,即抛物线插值
3
4.Lagrange插值
6
4.n=1,此时只有一个节点,插值点的值就是该节点的函数值
六、实验讨论、结论
1.例1中,3次样条和3次多项式的插值结果优于最近点插值方法和线性插值方法,但插值方法的好坏依赖于被插值函数,没有一种对所有函数都是最好的插值方法.
2.本实验采用函数
进行数值插值,插值区间为[-1,1],分别对线性插值,抛物插值,Lagrange插值对原函数拟合.根据实验结果得出结论:
当n越大,即插值节点越多时,拟合程度越好.可以通过该实验对给定的插值点求的形如
的插值多项式,因此,我们就可以用这个多项式来估计某个x对应的y值.
七、参考资料
[1]李庆杨,王能超,易大义.数值分析.清华大学出版社,2008,P23
[2]刘卫国.MATLAB程序设计与应用.高等教育出版社,2006,P146
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- 验证 拉格朗日插值 及其 程序设计