北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：导数及其应用.doc

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北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用

一、填空、选择题

1、（2016年北京高考）设函数.

①若，则的最大值为______________；

②若无最大值，则实数的取值范围是________.

2、（东城区2016届高三上学期期中）曲线处的切线方程是

　A、x＝1　　　B、y＝　　　C、x＋y＝1　　　D、x－y＝1

3、（东城区2016届高三上学期期中）已知定义在R上的函数的图象如图，则的解集为

4、（东城区2016届高三上学期期中）若过曲线上的点P的切线的斜率为2，则点P的坐标是　　　

5、（2016年全国II高考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．

6、（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。

7、定义在R上的函数满足：

的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为

A. B. C. D.

8、设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn（x）＝fn－1′（x），n∈N，则f2013（x）＝（　　）

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx

二、解答题

1、（2016年北京高考）设函数，曲线在点处的切线方程为，

（1）求，的值；

（2）求的单调区间.

2、（2015年北京高考）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

3、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：

；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若错误！

未找到引用源。

在错误！

未找到引用源。

上恒成立，求的取值范围.

5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数．

（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试求的单调区间；

（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．

6、（丰台区2016届高三上学期期末）已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围.

7、（丰台区2016届高三一模）已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

；

（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值.

8、（海淀区2016届高三二模）已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）

9、（石景山区2016届高三一模）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

当时，；

（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．

10、（西城区2016届高三二模）设，函数．

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求a的值；

（Ⅱ）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围.

11、（朝阳区2016届高三二模）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的

平面区域内，试求的取值范围．

12、（东城区2016届高三二模）已知，．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，求证：

对于，恒成立；

（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围．

参考答案

一、填空、选择题

1、【答案】，.

【解析】

试题分析：

如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，

①当时，，因此的最大值是；

②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：

，．

2、B　　　3、A　　4、（e，e）　

5、

6、

7、B　　8、C

二、解答题

1、【解析】（I）

∴

∵曲线在点处的切线方程为

∴，

即①

②

由①②解得：

，

（II）由（I）可知：

，

令，

∴

极小值

∴的最小值是

∴的最小值为

即对恒成立

∴在上单调递增，无减区间.

2、解析:

（Ⅰ）因为，所以

，．

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）令，

则．

因为，所以在区间上单调递增．所以,,

即当时，．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，对恒成立．

当时，令，则

．

所以当时，，因此在区间上单调递减．

当时，，即．

所以当时，令并非对恒成立．

综上可知，的最大值为．

3、解：

函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，

即，在上恒成立，

则………………………………………………………4分

（Ⅱ）当时，,．

（ⅰ）令，得．

令,得，所以函数在单调递增．

令,得，所以函数在单调递减．

所以，．

所以成立．…………………………………………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，，所以．

设所以．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增，

令,得，所以函数在单调递减；

所以，，即．

所以，即．

所以，方程没有实数解．……………………………14分

4、

（1）当时，，…………2分

…………3分

所以，函数在点处的切线方程为

即：

…………4分

（Ⅱ）函数的定义域为：

…………1分

…………2分

当时，恒成立，所以，在和上单调递增

当时，令，即：

，

所以，单调递增区间为，单调减区间为.…………4分

（Ⅲ）因为在上恒成立，有

在上恒成立。

所以，令，

则.

令则…………2分

若，即时，，函数在上单调递增，又

所以，在上恒成立；…………3分

若，即时，当时，单调递增；

当时，，单调递减

所以，在上的最小值为，

因为所以不合题意.…………4分

即时，当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，在上的最小值为

又因为，所以恒成立

综上知，的取值范围是.…………5分

5、解：

（Ⅰ）当时，，，．

方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………4分

（Ⅱ），

　　．

当时，对于，恒成立，

　　所以Þ； Þ0.

　　所以单调增区间为，单调减区间为．　　…………………8分

（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．

令ÞÞ.

设,

所以, 当时，恒成立，

所以单调递减.

又因为，又当时，,

即在上的值域为,

　　所以当时，有解.

设，则，

所以在单调递减.

因为，,

所以在有唯一解.

所以有：

0

0

极小值

所以当时，在内有极值且唯一.

当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．

综上，的取值范围为．…………………14分

6、解：

（Ⅰ），

令得，.

x

0

+

0

_

0

+

极大值

极小值

∴函数的极大值为；极小值为.

…………………………8分

（Ⅱ）若存在，使得，则

由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）.

（图1）（图2）

于是可得.…………………………13分

7、解：

（Ⅰ）设切线的斜率为

因为，切点为.

切线方程为，化简得：

.----------------------------4分

（Ⅱ）要证：

只需证明：

在恒成立，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时

在恒成立

所以.--------------------------------------------------------------------------10分

（Ⅲ）要使：

在区间在恒成立，

等价于：

在恒成立，

等价于：

在恒成立

因为==

①当时，，不满足题意

②当时，令，则或（舍）.

所以时，在上单调递减；

时，在上单调递增；

当时

当时，满足题意

所以，得到的最小值为-----------------------------------14分

8、解:

（Ⅰ）函数的定义域为.

当时，

…………………2分

当变化时，，的变化情况如下表：

极大