北京市东城区2017-2018高二第一学期数学期末试卷及答案(理科).doc
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北京市东城区2017-2018高二第一学期数学期末试卷及答案(理科).doc
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东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学(理科)
本试卷共4页,共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共36分)
一、选择题:
(共大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若两点的纵坐标相等,则直线的倾斜角为
A.B.
C.D.
2.已知命题,,那么命题为
A.B.
C.D.
3.在平面直角坐标系中,正三角形的边所在直线的斜率是,则边所在直线的斜率之和为
A.B.
C.D.
4.已知表示两条不同的直线,表示平面,且,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体),其中点代表钠原子,黑点代表氯原子.建立空间直角坐标系后,图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是
A. B.
C. D.
6.如图所示,在正方体中,四面体在面上的正投影图形为
ABCD
7.设椭圆的左、右焦点分别是,,线段被点分成的两段,则此椭圆的离心率为
A.B.
C.D.
8.已知直线,和平面,,且,,则下列命题中正确的是
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
9.若半径为的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程为
A.B.
C.或D.或
10.已知双曲线的焦距为,点在的一条渐近线上,则的方程为
A.B.
C.D.
11.平面上动点到定点与定直线的距离相等,且点与直线的距离为1.某同学建立直角坐标系后,得到点的轨迹方程为,则他的建系方式是
AB
CD
M
N
A
B
C
D
Phone
12.正方体的棱长为,,为棱,上的动点,且,则线段中点
的轨迹为
A.线段B.圆的一部分
C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分
二、填空题:
本题共6小题,每小题3分,共18分.
13.在空间直角坐标系中,点在平面内的射影为,则=________.
14.若直线与直线垂直,且不过第一象限,试写出一个直线的方程:
.
15.已知直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,则,.
16.圆绕直线旋转一周所得的几何体的表面积为 .
17.在长方体中,,分别是棱,的中点,若,则异面直线与所成的角为.
18.已知曲线上的任意一点满足到两条直线的距离之积为12.给出下列关于曲线的描述:
①曲线关于坐标原点对称;
②对于曲线上任意一点一定有;
③直线与曲线有两个交点;
④曲线与圆无交点.
其中所有正确描述的序号是_______.
三、解答题:
本大题共4个小题,46分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
19.(本题满分10分)
已知直线过点,且在两坐标轴上的截距之和为.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)若直线与直线平行,且与间的距离为,求直线的方程.
20.(本题满分11分)
已知圆.
(Ⅰ)试写出圆的圆心坐标和半径;
(Ⅱ)圆的圆心在直线上,且与圆相外切,被轴截得的弦长为,求圆的方程;
(III)过点的直线交(Ⅱ)中圆于两点,求弦的中点的轨迹方程.
21.(本题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为菱形,,为的中点.
(Ⅰ)若,求证:
平面⊥平面;
(Ⅱ)点在线段上,,试确定实数的值,使平面;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若平面平面,且,求二面角的大小.
22.(本题满分13分)
已知椭圆的焦点在圆上,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点O的直线与椭圆交于,两点,为右焦点,若△为直角三角形,求直线的方程.
东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.A2.C3.C4.D5.A6.A
7.C8.B9.C10.D11.C12.B
二、填空题:
本题共6小题,每小题3分,共18分.
13.14.(答案不唯一)15.
16.17.18.①③④
注:
两个空的填空题第一个空填对得1分,第二个空填对得2分.
三、解答题:
本大题共4小题,共46分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(本题满分10分)
解:
(Ⅰ)由直线过点,所以直线在轴上的截距为.
由已知条件可得直线在轴上的截距为,即直线过点.
故直线方程为,即................4分
(Ⅱ)由条件设直线的方程为,
由两条直线间的距离为,可得到直线的距离为,
则有,解得或.
故所求直线的方程为或................10分
20.(本题满分11分)
解:
(Ⅰ)将圆的方程改写为,故圆心坐标为,半径为..........4分
(Ⅱ)设圆的半径为,圆心纵坐标为,由条件可得,解得.
此时圆心纵坐标.
所以圆的方程为................8分
(Ⅲ)设,依题意有.
即,且
整理得且.
当时,,符合题意,当时,,符合题意.
故所求点的轨迹方程为..................11分
21.(本题满分12分)
证明:
(Ⅰ)连接.
因为,,
所以△为正三角形.
因为为的中点,
所以.
因为,为中点,
所以.
又,
所以平面.
因为平面,
所以平面⊥平面................4分
(Ⅱ)连接,交于点.
由,可得△∽△,
所以.
因为平面,平面,平面平面,
所以.
所以,即,所以................8分
(Ⅲ)由,为的中点,则,又平面平面,
所以平面.
以为坐标原点,分别以所在的直线为轴,建立如图所示的坐标系,则,,,,,.
设平面的法向量为,
可得
因为,所以即
令则.
于是.
取平面的法向量,
所以.
故二面角的大小为................12分
22.(本题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为椭圆的焦点在轴上,所以焦点为圆与轴的交点,即.
所以.
又离心率,所以.
故所求椭圆方程为................4分
(Ⅱ)当△为直角三角形时,显然直线斜率存在,
可设直线方程为,设,.
(ⅰ)当时,,.
由得.
则,.
.
解得.
此时直线的方程为................8分
(ⅱ)当与不垂直时,根据椭圆的对称性,不妨设.
所以解得,.
所以.
此时直线的方程为.
综上,直线的方程为或................13分
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