基于数学核心素养下初高中衔接之二次函数的教学策略.docx

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基于数学核心素养下初高中衔接之二次函数的教学策略

【摘要】基于数学核心素养下的初高中二次函数衔接教学中，教师引导学生绘制二次函数的图像，让学生学会观察二次函数的图像，从而提高学生的数学运算能力、逻辑推理能力和直观想象力等数学核心素养．

【关键词】数学核心素养;初高中衔接;二次函数;图形计算器;网络画板

作为一名高中数学教师，从教16年来，发现有很多高一新生的家长都有相同的困惑:

孩子初中数学那么优秀，为什么到了高中数学跟不上来了呢?

对于这种现象我想原因是多方面的，其中初高中数学知识衔接脱节是个重要原因，因此，高中的数学教师做好初高中衔接工作显得尤为重要．二次函数的衔接是重中之重，虽然二次函数是初中的知识，但仍然是高考的重点内容，很多年高考的压轴题就是跟二次函数有关，所以做好二次函数的初高中衔接教学工作是非常必要的．下面我把自己对于数学核心素养下二次函数初高中衔接教学的具体策略说一说．

一、引导学生绘制二次函数的图像，提高学生的作图能力

由于初中教学不要求学生会画二次函数图像，再加上我们学校生源是属于中山市二类，所以高一新生大部分学生不会画二次函数的图像，更可笑的是居然还又一部分学生把二次函数的图形画成直线，真是让人啼笑皆非啊!

因此引导学生绘制二次函数的图像势在必行．在高中数学学习过程中，学生如果不会画函数图像，将寸步难行．因为我们可以通过观察函数图像得出函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等一系列性质，所以，教师在初高中数学二次函数衔接教学中第一节课的首要任务就是教学生画二次函数图像．由于二次函数是初中学生很熟悉的函数，因此，我就直接引导学生总结出画二次函数的图像的步骤．

二、让学生学会观察函数图像，提高学生的直观想象力

高一新生不会画二次函数图像，更不会看函数图像．通过函数图像看函数的单调性还比较直观，大部分学生没什么问题;函数图像是否关于y轴、原点对称，教师只要适当引导，学生还是可以观察出来的，但是通过观察函数图像得到函数的值域和定义域，对学生的来说是非常困难的，所以引导他们学会观察函数图形非常必要，同时为高中阶段学习其他的函数奠定了重要的基础．

下面我通过具体的例子引导学生学会看函数图像．

例1已知二次函数f（x）=x2－2x－3．

（1）当f（x）＞0时，求x的取值范围;

（2）当x∈［0，3］时，求f（x）的值域;（3）求出f（x）的单调区间．



先让学生画出该二次函数图像，对于第

（1）小题，教师可以这样提问:

“f（x）＞0对应的函数图像是哪部分?

”引导学生看出是x轴上方的图像，接下来教师问:

“x轴上方的图像对应的x的取值范围怎么从图像得出呢?

”引导学生看出x轴取值范围就是把图像投影到x轴上对应的范围．对于第

（2）小问，教师可以这样提问:

“当x∈［0，3］时怎么从图像得出其相应的值域呢?

”引导学生发现值域其实就是函数的最小值与最大值构成的范围，所以可以把求值域转化为求

函数的最大与最小值，接着提问:

“那怎么从函数图像得到函数的最大与最小值呢?

”引导学生从x的取值范围找到对应的函数图像，再把对应的函数图像投影到y轴，图像最低点对应的就是函数的最小值，图像最高点对应的就是函数的最大值，这样函数的值域就求出来了．对于第（3）小问，教师可以这样提问:

“二次函数的单调性只跟谁有关?

”大部分学生都知道跟二次函数的对称轴有关，因此同学们通过图像很容易得出f（x）=x2－2x－3的单调区间，增区间为（1，

+∞），减区间为（－∞，1］．

2

教师通过上述图像训练解决了与二次函数有关的定义域、值域和单调性问题．比如求函数f（x）=log（x2－2x－3）的定义域、值域和单调区间．这类相似问题同学们就迎刃而解了．这种方式培养了学生的直观想象能力，渗透了数形结合的思想，这些数学思想是高中数学重要的核心素养．

高一新生经历上述知识的衔接过程，基本掌握了二次函数的基本特征和二次函数图像的画法，深刻认识并理解二次函数图像的应用，为后续解决有关二次函数的问题提供了坚实的基础，下面对这些问题从两个方面进行分类总结．

类型1:

与二次函数有关含有绝对值的函数图像，通过研究图像得到函数的单调性

含有绝对值的函数是高中学习函数的重点也是难点，学生往往一知半解，教师反复讲都不能掌握，其中最重要的原因是学生不会画相应的函数图像．对于初中学过的函数一次函数和反比例函数图像大部分学生掌握比较好，但二

次函数图像真的是很糟糕，因此，学生只有掌握了二次函数图像的画法，突破了问题的难点，才能解决这类函数问题．

例2画出下列函数图像，并由图像得到函数的单调性

（1）f（x）=x2－2|x|－1

求出它的对称轴x=a，然后进行分类讨论．

（1）当a＜2时，

f（x）在区间［2，4］上为增函数，所以f（x）min=f

（2）=6－4a;

（2）当2≤a≤4时，对称轴在区间［2，4］内，所以f（x）min=

f（a）=2－a2;（3）当a＞4时，f（x）在区间［2，4］内为减函数，

所以f（x）min=f（4）=18－8a．

{6－4a，a＜2

综上所述f（x）

min=

2－a2，2≤a≤4

18－8a，a＞4．

（2）f（x）=|x2－4|

对于这类函数的图像，学生往往望而生畏的．这种情况我是这样处理的，先教学生用网络画板，画出这两个函数图像，让学生觉得这样的函数图像并不复杂，而且会激起他们学习的好奇心，接下来就引导学生去绝对值，把上述函数化成分段函数，分段绘制图形．函数图像画出来，求函数的单调区间就很简单了，直接由图可知第

（1）问的函数单调增区间为（－1，0）、（1，+∞），单调减区间为（－∞，－1）、（0，1）;第

（2）问的函数单调增区间为（－2，0）、（2，+∞），单调减区间（－∞，－2）、（0，2）．

类型2:

含参数的二次函数单调性和最值问题

例3求二次函数f（x）=x2－2ax+2在［2，4］上的最小值．

含参数的二次函数图像是学生很难理解的，主要原因是学生的数学思维跟不上，为了解决这个难题我又采用了网络画板展示图像随着参数a变化而变化的全过程．这样学生就容易理解怎么进行分类讨论，从而精准找到分类讨论的标准．

先对该二函数进行配方f（x）=（x－a）2+2－a2，或者直接

在这个学习过程中，教师利用网络画板这一教学软件轻松化解了学习难点，逐步渗入了分类讨论的思想和方法，进一步强化了学生的直观想象力和数形结合的思想．因为题目是含参数的运算，对于学生来说是初中没接触的运算，所以该题同时提高了学生的数学运算能力，这些都是数学核心素养至关重要的组成部分．

三、重视二次函数的实际应用问题，提高学生的数学建模能力

二次函数实际应用问题主要是最值问题和拱桥问题，其中最值问题主要是最大面积和最大利润问题．

在这里我就以最大利润问题为例来进行分析．

例4某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2．5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系:

在某一时间内，单价是13．5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你帮助分析:

销售单价是多少时，可以获利最多?

设销售单价为x元，那么

（1）销售量可以表示为 ;

（2）销售额可以表示为 ;

（3）所获利润可以表示为 ;

（4）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．

对于这个实际应用问题，教师通过层层设问，引导学生建立二次函数模型，从而列出函数解析式求出最大利润．二次函数的实际应用问题，是学生学习函数的难点，也是初高中二次函数衔接脱节的地方，通过解决二次函数的实际应用问题，可以训练学生把实际应用问题抽象成数学问题的数学思维，从而，建立相应的函数模型的能力．这个过程培养了学生数学抽象和数学建模这些核心素养．

我从三个方面阐述了二次函数在高中数学教学中是如何衔接的，这些都是初高中有关二次函数衔接教学的具体做法．其实在初高中数学衔接中学生的学法和教师的教法都很重要重要，作为数学老师要明白初高中数学衔接教学作用是承前启后，衔接教学不应该是知识的简单重复学习，除了教学内容的衔接，还要注重培养学生学习方式、学习习惯、学习能力和学习兴趣．

教师在初高中数学衔接教学时以衔接内容为载体给学生渗透数形结合的思想和分类与整合的思想，可以培养他们数学运算能力、逻辑推理能力和直观想象能力，这样慢慢培养学生在遇到问题时选择合适的思想和方法进行解决的能力，学生掌握好数学思想和方法，比死记硬背形式化的数学知识更重要，对高中阶段数学核心素养的形成必有益处．

【参考文献】

［1］钱佩玲．普通高中课程标准实验教科书数学1必修

A版［M］．北京:

人民教育出版社，2004，05．