东北三省四市届高考第一次模拟考试数学理试题含答案docWord格式.docx
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7.6本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()种
A.24B.36C.48D.60
8.的内角,,的对边分别为,,,若,,面积的最大值是()
9.已知边长为2的等边三角形,为的中点,以为折痕,将折成直二面角,则过,,,四点的球的表面积为()
10.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值可以为()
11.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和,其右支上存在一点满足,且的面积为3,则该双曲线的离心率为()
12.若直线()和曲线()的图象交于,,()三点时,曲线在点,点处的切线总是平行,则过点可作曲线的()条切线
A.0B.1C.2D.3
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设实数,满足约束条件则的最大值为.
14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况,某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为,现表中一个数据为污损,则被污损的数据为.(最后结果精确到整数位)
15.已知函数满足,当时,的值为.
16.已知腰长为2的等腰直角中,为斜边的中点,点为该平面内一动点,若,则的最小值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设数列的前项和为,且,正项等比数列的前项和为,且,.
(1)求和的通项公式;
(2)数列中,,且,求的通项.
18.树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查,调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组:
第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求这2组恰好抽到2人的概率;
(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人,设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量,求的分布列与数学期望.
19.在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面,,分别是线段,的中点,.
(1)证明:
平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标系中,椭圆:
的离心率为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知与为平面内的两个定点,过点的直线与椭圆交于,两点,求四边形面积的最大值.
21.已知函数().
(1)若为在上的单调递增函数,求实数的取值范围;
(2)设,当时,若(其中,),求证:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:
,曲线:
().
(1)求与交点的极坐标;
(2)设点在上,,求动点的极坐标方程.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)对于都有恒成立,求实数的取值范围.
2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷
(一)数学答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12:
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解:
(1)∵,∴令,,
,,
经检验不能与()时合并,
∴
又∵数列为等比数列,,,
∴,∴,
∴,∴.
(2),
∵,,…,,
以上各式相加得,
,
∴,
∴.
18.解:
(1)由,得,
平均数为岁;
设中位数为,则,∴岁.
(2)第1,2组抽取的人数分别为2人,3人.
设第2组中恰好抽取2人的事件为,
则.
(3)从所有参与调查的人中任意选出1人,关注环境治理和保护问题的概率为,
的所有可能取值为0,1,2,3,
∴,,,
所以的分布列为:
∵,
19.解:
(1)取中点,连接,,
∵,分别是,中点,∴,,
∵为中点,为矩形,∴,,
∴,,∴四边形为平行四边形,
∴,∵平面,平面,
∴平面.
(2)∵平面,且四边形是正方形,∴,,两两垂直,以为原点,,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面法向量,,,
则即取,
设平面法向量为,,,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.解:
(1)∵,∴,
椭圆的方程为,
将代入得,∴,
∴椭圆的方程为.
(2)设的方程为,联立
消去,得,
设点,,
有,,
有,
点到直线的距离为,
从而四边形的面积(或)
令,,
有,设函数,,所以在上单调递增,
有,故,
所以当,即时,四边形面积的最大值为6.
21.解:
(1)∵的定义域为且单调递增,
∴在上,恒成立,
即:
所以设,,
∴当时,,∴在上为增函数,
∴当时,,∴在上为减函数,
∴,∵,
∴,即.
(2)∵,
∵,,
∴设,,则,
∴,∴在上递增,
∴设,,
∴,,
∴,在上递增,
令,
∴,即,
又∵,
∵在上递增,
∴,即得证.
22.解:
(1)联立,
∵,,,
∴所求交点的极坐标.
(2)设,且,,
由已知,得
∴,点的极坐标方程为,.
23.解:
(1)当时,
当解得;
当,恒成立;
当解得,
此不等式的解集为.
(2)令
当时,,当时,,所以在上单调递增,当时,,所以在上单调递减,
所以,
当时,,所以在上单调递减,
综上,.
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