北师版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试题含答案Word格式.docx
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北师版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试题含答案Word格式.docx
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4.下列条件中不能确定是等腰三角形的是( D )
A.三条边都相等的三角形D.一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
B.有
一个锐角是45°
的直角三角形
C.一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
5.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( A )
A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA
C.∠C=∠DD.BC=AD
6.
下列说法中:
(1)顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形全等;
(2)底边相等,且周长相等的两个等腰三角形全等;
(3)腰长相等,且有一角是50°
的两个等腰三角形全等;
(4)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
错误的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个A
7.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( C )
A.8或10B.8
C.10D.6或12
8.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°
,∠ABD=24°
,则∠ACF的度数为( A )
A.48°
B.36°
C.30°
D.24°
9.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( D )
A.2.5B.1.5
C.2D.1
10.如图,等边△ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB于E,交AC于F,则图中的等腰三角形有( D )
A.4个B.5个
C.6个D.7个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是__________________________________________,这个逆命题是________命题.
12.如图,过等边△ABC的顶点A作射线.若∠1=20°
,则∠2的度数为________.
第12题图第13题图
13.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°
,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是________.
14.如图是某超市一层到二层电梯的示意图,其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线,∠ABC=150°
,BC的长约为12米,则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米.
第14题图第15题图
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,CD=3,AB=12,则△ABD的面积为________.
16.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点D.若∠ADE=40°
,则∠DBC=________°
.
第16题图第17题图
17.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;
②CB=CD;
③△ABC≌△ADC;
④DA=DC.其中所有正确结论的序号是__________.
18.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则该等腰三角形顶角的度数为________.
三、解答题(共66分)
19.(8分)如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:
BF=CD.
20.(8分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°
,求∠ACB和∠BAC的度数.
21.(8分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,连接EF.求证:
AD垂直平分EF.
22.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:
△BED≌△CFD;
(2)若∠A=60°
,BE=1,求△ABC的周长.
23.(10分)如图,AD是△ABC的边BC上的高,∠B=60°
,∠C=45°
,AC=6.求:
(1)AD的长;
(2)△ABC的面积.
24.(10分)如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点.
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?
试证明你的结论.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴上一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.
(1)求点B的坐标;
(2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?
如不改变,求出其大小;
如改变,请说明理由.
(3)连接OQ,当OQ∥AB时,求点P的坐标.
答案
11.如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形 真
12.100°
13.76 14.6 15.18 16.15 17.①②③
18.30°
或150°
解析:
当高在三角形内部时,顶角是30°
;
当高在三角形外部时,顶角是150°
.所以等腰三角形顶角的度数为30°
19.证明:
∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°
.(1分)∵EF⊥DF,∴∠EFD=90°
,∴∠EFB+∠CFD=90°
.∵∠EFB+∠BEF=90°
,∴∠BEF=∠CFD.(4分)在△BEF和△CFD中,
∴△BEF≌△CFD(ASA),(7分)∴BF=CD.(8分)
20.解:
∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC,∴∠DEC=90°
.(3分)∵∠ADC=125°
,∴∠DCE=∠ADC-∠DEC=35°
.(5分)∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70°
.(6分)又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°
,∴∠BAC=180°
-(∠B+∠ACB)=40°
.(8分)
21.证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∴点D在线段EF的垂直平分线上.(3分)在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF,(6分)∴点A在线段EF的垂直平分线上.∵两点确定一条直线,∴AD垂直平分EF.(8分)
22.
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°
.∵D是BC的中点,∴BD=CD.(4分)∴△BED≌△CFD(AAS).(5分)
(2)解:
∵AB=AC,∠A=60°
,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠B=60°
.(7分)又∵DE⊥AB,∴∠EDB=30°
,∴BD=2BE=2,∴BC=2BD=4,(9分)∴△ABC的周长为AB+BC+CD=3BC=12.(10分)
23.解:
(1)∵∠C=45°
,AD是△ABC的边BC上的高,∴∠DAC=45°
,∴AD=CD.(2分)∵AC2=AD2+CD2,∴62=2AD2,∴AD=3
.(4分)
(2)在Rt△ADB中,∵∠B=60°
,∴∠BAD=30°
,∴AB=2BD.(6分)∵AB2=BD2+AD2,∴(2BD)2=BD2+AD2,BD=
.(8分)∴S△ABC=
BC·
AD=
(BD+DC)·
×
(
+3
)×
3
=9+3
.(10分)
24.解:
(1)△DEF是等边三角形.(1分)证明如下:
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C,AB=BC=CA.又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE,(3分)∴DF=ED=FE.∴△DEF是等边三角形.(5分)
(2)AD=BE=CF成立.(6分)证明如下:
如图,∵△DEF是等边三角形,∴DE=EF=FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°
.∴∠1+∠2=120°
.(8分)∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°
,∴∠2+∠3=120°
,∴∠1=∠3.同理∠3=∠4,易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS),∴AD=BE=CF.(10分)
25.解:
(1)如图①,过点B作BC⊥x轴于点C.∵△AOB为等边三角形,且OA=2,∴∠AOB=60°
,OB=OA=2,∴∠BOC=30°
.(2分)又∵∠OCB=90°
,∴BC=
OB=1,由勾股定理得OC=
,∴点B的坐标为(
,1).(4分)
(2)∠ABQ=90°
,始终不变.(5分)理由如下:
∵△APQ,△AOB均为等边三角形,∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB,∴∠PAO=∠QAB.(6分)在△APO与△AQB中,
∴△APO≌△AQB(SAS),∴∠ABQ=∠AOP=90°
(3)当点P在x轴正半轴上时,点Q在点B上方,易知OQ与AB相交.当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方.∵AB∥OQ,∴∠BQO=180°
-∠ABQ=90°
,∠BOQ=∠ABO=60°
.又OB=OA=2,∴OQ=1,可求得BQ=
,(10分)由
(2)可知△APO≌△AQB,∴OP=BQ=
,∴此时点P的坐标为(-
,0).(12分)
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