切线长定理与弦切角定理(邦德讲义).doc
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初三数学2006年11月
切线长定理与弦切角定理
【知识要点】
一、切线长定理:
1.切线长概念:
在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段的R,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长和切线的区别
切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量.
3.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
·
A A
O A
C A
D A
B A
P A
要注意:
此定理包含两个结论,如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,①PA=PB②PO平分.
4.两个结论:
圆的外切四边形对边和相等;
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
二、弦切角定理:
1.弦切角概念:
理解体弦切角要注意两点:
①角的顶点在圆上;②角的一边是过切点的弦,角的边一边是以切点为端点的一条射线.
2.弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角,该定理也可以这样说:
弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半.
3.弦切角定理的推论:
推论:
如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角相等.
【典型例题】
A
例1已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点,若PO=13㎝,的周长为24㎝,,
·
E
P
D
B
C
O
求:
①⊙O的半径;②的度数.
例2如图,⊙O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F,若.
(1)求AD、BE、CF的长;
(2)当,求内切圆半径r.
·
E
F
D
C
O
A
B
·
E
F
D
C
O
A
B
例3如图,⊙O是的外接圆,的平分线CE交AB于D,交⊙O于E,⊙O的切线EF
·
E
F
D
C
O
A
B
交CB的延长线于F.求证:
例4如图,AB为⊙O的弦,CD切⊙O于P,于C,于D,于Q.
Q
D
P
C
A
B
求证:
【课堂专练】
·
A
O
PB
BB
M
1.如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,OP与⊙O相交于点,以下结论,错误的是()
A、B、
C、D、是的外心
2.若⊙O的切线长和半径相等,则两条切线所夹的角的度数为:
()
B
A
C
D
E
A、B、C、D、
3.四边形中,有内切圆的是()
A、平行四边形B、菱形C、矩形D、以上答案都不对
4.如图,直线BC切⊙O于点A,则图中的弦切角共有()
A、2个B、3个C、4个D、6个
5.如图,AB为⊙O的直径,DB、DC分别切⊙O于B、C,若,则为()
·
A
O
C
PB
EB
BB
A、B、C、D、
6.圆的外切平行四形一定是形.
7.圆外切梯形的周长为24cm,则它的中位线的长是㎝.
8.如图,AB是⊙O的直径,CE切⊙O于C,于D.
·
A
O
C
DB
BB
E
若,则,.
9.如图,⊙O是的内切圆,D、E、F为切点,
·
A
O
C
DB
BB
E
F
,则°.°.
10.直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝,
则此直角三角形的外接圆半径为㎝,
内切圆半径为㎝.
11.如图,直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,
·
A
O
C
DB
BB
E
F
GB
且AB∥CD,若OB=6㎝,OC=8㎝,则,
⊙O的半径=㎝,BE+CG=㎝.
12.如图,PA、PB是⊙O的切线,AB交OP于点,
若,则⊙O的半径是㎝.
·
A
O
PB
BB
M
13.如图,四边形ABCD是直角梯形,以垂直于底的腰AB为直径
的⊙O与腰CD相切于E,若此圆半径为6㎝,梯形ABCD的周长为38㎝,
·
A
O
DB
BB
C
E
求梯形的上、下底AD、BC的长.
14.如图,AB为⊙O的直径,过B作⊙O的切线,C为切线上一点,连OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于D.
(1)求证:
.
(2)若,求CD的长.
A
·
O
DB
BB
C
E
【闯关练习】
·
A
O
DB
BB
C
E
1.如图,中,,以AB为直径的⊙O交BC于点D,切线DE交AC于E.求证:
.
·
A
O
DB
BB
C
E
2.如图,AB是⊙O的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别为A、B、C、DO交AE于F,OC交BE于G.求证:
(1)
(2)四边形是矩形;(3).
·
A
O
BB
F
C
N
M
E
D
3.如图,⊙O的直径AB=12㎝,AM和BN是⊙O的两条切线,DC切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,设.
(1)求与的函数关系,并说明是什么函数?
(2)若、是方程的两根,求、的值.(3)求的面积.
·
A
O
C
E
D
4.如图,BC为⊙O的直径,,过点A的切线与CD的延长线交于点E.
(1)试猜想是否等于?
为什么?
(2)若,求⊙O的半径.
BB
5.如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.
(1)求证:
;
(2)已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF的长.
·
A
O
DB
BB
C
EB
FB
5
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