函数的单调性与最值(基础+复习+习题+练习).doc
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课题:
函数的单调性与最值
考纲要求:
①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;
②会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值
教材复习
函数单调性和单调区间的定义:
类别
增函数
减函数
图像
描述
自左向右看:
图像是
自左向右看:
图像是
单调性
定义
一般地,设函数的定义域为,区间,如果对于区间内任意两个
自变量
当时,都有,
那么,就称在区间上是增函数
当时,都有,
那么,就称在区间上是减函数
单调
区间
若函数在区间上是增函数或减函数,则称函数在这一区间具有,区间叫做的
利用定义法证明单调性的一般步骤:
①;②;③;④
函数的最值
前提
设函数的定义域为,如果存在实数满足
条件
对于任意,都有
存在,使得
对于任意,都有
存在,使得
结论
为最大值
为最小值
常见初等函数的单调区间①幂函数②指数函数③对数函数④三角函数⑤多项式函数
基本知识方法
函数单调性的定义:
①如果函数对区间内的任意,当时都有,则在内是增函数;当时都有,则在内时减函数。
②设函数在某区间内可导,若,则为的增函数;若,则为的减函数.
单调性的定义①的等价形式:
设,那么在是增函数;
在是减函数;
在是减函数。
复合函数单调性的判断:
函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.
即若在区间上递增(递减)且();
若在区间上递递减且.().
①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等
讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集;
判断函数的单调性的方法有:
用定义;用已知函数的单调性;利用函数的导数;如果的递增(减)区间是,那么在的任一非空子区间上也是增(减)函数;图象法;复合函数的单调性结论:
“同增异减”;奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性;
互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
在公共定义域内,利用函数的运算性质:
若、同为增函数,则
①为增函数;②为增函数;③为减函数;
④为增函数;⑤为减函数.
“对勾函数”:
在上单调递增;
在上是单调递减.
证明函数单调性的方法:
利用单调性定义①;利用单调性定义②.
函数的单调区间必须是定义域的子集.
两条结论
闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
典例分析:
题型一:
求函数的单调区间
问题1.(辽宁文)函数的单调增区间为
求下列函数的单调区间:
①②③
题型二:
判断或证明函数的单调性
问题2.①试讨论函数在上的单调性.
②(全国,节选)设函数,其中.略;
求证:
当≥时,函数在区间上是单调函数
题型三:
利用函数的单调性求字母的取值范围
问题3.(北京文)已知是上的增函数,那么的
取值范围是
已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围
题型四:
函数的单调性的应用
问题4.(福建)已知为上的减函数,则满足的实数的取值范围是
若,则不等式<的解集为
题型五:
单调性与最值
问题5.①函数在区间上的最大值是
②(重庆)(≤≤)的最大值为
题型六:
抽象函数的单调性
问题6.(山东模拟)设是定义在上的函数,且对任意实数、都有
.求证:
是奇函数;若当时,有,
则在上是增函数.
课后作业:
利用函数单调性定义证明:
=在上是减函数
函数在上为增函数,则实数的取值范围
已知函数在区间上是减函数,试求的取值范围
已知在上是的减函数,则的取值范围是
下列函数中,在区间上是增函数的是
为上的减函数,,则
(全国)如果奇函数在区间上是增函数,且最小值为,那么
在区间上是增函数且最小值为 增函数且最大值为
减函数且最小值为 减函数且最大值为
已知是偶函数,且在上是减函数,则是增函数的区间是
(湖南文)若与在区间上都是减函数,则
的取值范围是
(上海)若函数在上为增函数,则实数、的范围是
已知偶函数在内单调递减,若,,,则、、之间的大小关系是_____________
(兰州模拟)已知函数是上的增函数,则实数的取值范围是
已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数
的取值范围.
已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
设,是上的偶函数.求的值;
证明在上为增函数.
(北京东城模拟)函数对任意的,都有
,并且当时.
求证:
是上的增函数;若,解不等式
已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有
,且当时,
求证:
是偶函数;在上是增函数;
解不等式.
走向高考:
(天津)在上定义的函数是偶函数,且,若在区间
是减函数,则函数
在区间上是增函数,区间上是增函数
在区间上是增函数,区间上是减函数
在区间上是减函数,区间上是增函数
在区间上是减函数,区间上是减函数
(陕西文)定义在上的偶函数满足:
对任意的,有
.则
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(福建)已知函数为上的减函数,则满足的实数的范围是
(江苏)的单调递增区间是
(重庆)已知定义域为的函数在上为减函数,且函数
为偶函数,则
(山东)下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是
(全国大纲)若函数在区间是增函数,
则的取值范围是
(重庆)若函数是定义在上的偶函数,在上是减函数,且,
则使得的的取值范围是
; ;;
(安徽)若函数的递增区间是,则
(全国)已知若,那么
在上是减函数; 在上是减函数;
在上是增函数; 在上是增函数;
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