函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究.doc
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函数的奇偶性、单调性、最值综合探究
新泰一中闫辉
●知识梳理
1.函数的奇偶性:
(1)奇函数:
如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数。
(2)偶函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,则称f(x)为偶函数.
(3)奇、偶函数的性质
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
③若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=0.
④奇函数的反函数也为奇函数.
⑤奇偶函数的运算性质:
设y=f(x)(x∈D1)为奇函数,y=g(x)(x∈D2)为偶函数,,则在D上有:
奇±奇=奇(函数)偶±偶=偶(函数)
奇×奇=偶(函数)偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函数)
2.函数的单调性:
(1)增函数、减函数的定义
一般地,对于给定区间上的函数y=f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)〔或都有f(x1)>f(x2)〕,那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间,如函数为减函数则称区间为减区间.
(2)函数单调性可以从三个方面理解
①图形刻画:
对于给定区间上的函数f(x),函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减.
②定性刻画:
对于给定区间上的函数f(x),如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减.
③定量刻画,即定义.
(3)关于函数单调性的几个重要结论
①和函数的单调性:
若y=f(x)与y=g(x)在公共区间D内都是增(减)函数,则函数y=f(x)+g(x)在D内是增(减)函数。
若y=f(x)在区间D内是增(减)函数,则函数y=kf(x)k>0(k<0)在D内是增(减)函数。
②奇偶函数在对称区间上的单调性
奇函数在(a,b)和(-b,-a)(a
偶函数在(a,b)和(-b,-a)(a
3.函数的最值:
(1)函数的最值的定义:
定义:
一般地,函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0),如果对于定义域内任意x,不等式f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0))都成立,那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最小值,(最大值)记做:
ymin=f(x0)(ymax=f(x0))
(2)求函数最值的常用方法有:
(1)配方法:
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值;
(2)换元法:
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。
(3)数形结合法:
利用函数图象求出函数的最值.
(4)函数的单调性法.
一、函数奇偶性的判定问题。
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
(2)f(x)=(x-1)·;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=
剖析:
根据函数奇偶性的定义进行判断.
解:
(1)函数的定义域x∈(-∞,+∞),对称于原点.
∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
(2)先确定函数的定义域.由≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)去掉绝对值符号,根据定义判断.
由得
故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0.从而有f(x)==,这时有f(-x)==-=-f(x),故f(x)为奇函数.
(4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x>0时,-x<0,
∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).
故函数f(x)为奇函数.
评述:
(1)分段函数的奇偶性应分段证明.
(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
二、奇偶函数的解析式问题。
【例2】已知f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=lg,那么当x∈(-1,0)时,f(x)的表达式是__________.
解析:
当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(x)=-f(-x)=-lg=lg(1-x).
答案:
f(x)=lg(1-x)
三、奇偶函数的图象问题。
【例3】下面四个结论中,正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)()
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:
①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.
答案:
A
四、函数单调性的判定问题。
【例4】证明:
函数是增函数
【例5】讨论函数f(x)=(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.
解:
设-1<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=-
==.
∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0.又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
五、函数单调区间的求法问题。
【例6】求函数y=x+的单调区间.(对号函数)【增减减增】
剖析:
求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性),一般有三种方法:
(1)图象法;
(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作,利用y=x与y=的单调性(一增一减)也难以确定,故只有用单调性定义来确定,即判断f(x2)-
f(x1)的正负.
解:
首先确定定义域:
{x|x≠0},∴在(-∞,0)和(0,+∞)两个区间上分别讨论.
任取x1、x2∈(0,+∞)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-)(1-)=(x1-)
(1)当x1、x2∈(0,1)时,
∴f(x1)-f(x2)>0,为减函数.
(2)当x1、x2∈(1,+∞)时,
∴f(x1)-f(x2)<0,为增函数.
同理可求(3)当x1、x2∈(-1,0)时,为减函数;(4)当x1、x2∈(-∞,-1)时,为增函数.
评述:
解答本题易出现以下错误结论:
f(x)在(-1,0)∪(0,1)上是减函数,在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数,或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念:
函数的单调性是对某个区间而言的,而不是两个或两个以上不相交区间的并.
深化拓展
求函数y=x+(a>0)的单调区间.
提示:
函数定义域x≠0,可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性,再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.
答案:
在(-∞,-],(,+∞)上是增函数,在(0,],(-,0)上是减函数.
【例7】求下列函数的单调区间:
六、函数奇偶性与单调性的应用。
【例8】
(1)已知函数求。
(2)已知是偶函数,为奇函数,求f(x)。
(3)求函数的值域。
七、二次函数在区间上的最值问题。
【例9】求函数在区间上的最大值和最小值。
【例10】求函数在区间上的最大值。
【例11】求函数在区间上的最大值和最小值。
●闯关训练
1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx是
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
解析:
由f(x)为偶函数,知b=0,有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.
答案:
A
2.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则
a=___________,b=___________.
解析:
定义域应关于原点对称,
故有a-1=-2a,得a=.
又对于所给解析式,要使f(-x)=f(x)恒成立,应b=0.
答案:
0
3.给定函数:
①y=(x≠0);②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+).在这五个函数中,奇函数是_________,偶函数是_________,非奇非偶函数是__________.
答案:
①⑤②③④
4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案:
B
5.函数y=loga(x2+2x-3),当x=2时,y>0,则此函数的单调递减区间是
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
解析:
当x=2时,y=loga5>0,∴a>1.由x2+2x-3>0x<-3或x>1,易见函数t=x2+2x-3在(-∞,-3)上递减,故函数y=loga(x2+2x-3)(其中a>1)也在(-∞,-3)上递减.
答案:
A
6.(2003年北京朝阳区模拟题)函数y=log|x-3|的单调递减区间是__________________.
解析:
令u=|x-3|,则在(-∞,3)上u为x的减函数,在(3,+∞)上u为x的增函数.又∵0<<1,∴在区间(3,+∞)上,y为x的减函数.
答案:
(3,+∞)
7.有下列几个命题:
①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上不是增函数;②函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;③函数y=的单调区间是[-2,+∞);④已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是___________________.
解析:
①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数,∴①错;②虽然(-∞,-1)、(-1,+∞)都是y=的单调减区间,但求并集以后就不再符合减函数定义,∴②错;③要研究函数y=的单调区间,首先被开方数5+4x-x2≥0,解得-1≤x≤5,由于[-2,+∞)不是上述区间的子区间,∴③错;④∵f(x)在R上是增函数,且a>-b,∴b>-a,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),因此④是正确的.
答案:
④
8.若f(x)=为奇函数,求实数a的值.
解:
∵x∈R,∴要使f(x)为奇函数,必须且只需f(x)+f(-x)=0,即a-+a-=0,得a=1.
9.(文)如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是___________________.
解析:
对称轴x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3.
答案:
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- 关 键 词:
- 函数 奇偶性 调性 综合 问题 探究