函数常考题型与解法.doc
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函数常考题型与解法.doc
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函数与导数
1、知识点
2、高考题型与考点
考点一 函数的定义域
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题.
变式
函数值域
考点二 函数的性质(单调性、奇偶性和周期性)
函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
例2.(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中,既是偶函数又是区间上的增函数的是()
ABCD
【答案】B
【解析】由偶函数可排除A,再由增函数排除C,D,故选B;
【名师点睛】此题考查复合函数的奇偶性和单调性,因为函数都是偶函数,所以,内层有它们的就是偶函数,但是,它们在的单调性相反,再加上外层函数的单调性就可以确定.
【备考提示】:
熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.
练习2:
(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】本题考察函数性质,属容易题.因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:
函数的单调增区间是.
例4、
例5.(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为,所以8是该函数的周期;又因为,所以是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域为R,所以,且函数的图象关于对称,因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,
,所以,故选D.
【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、周期性,利用函数性质比较函数值的大小.
【备考提示】:
函数的奇偶性、单调性、周期性,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.
练习3:
(2011年高考全国卷文科10)设是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,=,则=()
A.-B.C.D.
【答案】A
【解析】先利用周期性,再利用奇偶性得:
考点三 函数的图象
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.
例4.(2011年高考山东卷理科9文科10)函数的图象大致是()
【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C正确.
【名师点睛】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.
【备考提示】:
函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判断法等)是答好这类问题的关键.
练习4:
(2010年高考山东卷文科11)函数的图像大致是()
【解析】因为当x=2或4时,2x-=0,所以排除B、C;当x=-2时,2x-=,故排除D,所以选A.
考点四 导数的概念、运算及几何意义
了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例5.(2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()
(A)-9(B)-3(C)9(D)15
【答案】C
【解析】因为,切点为P(1,12),所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.
【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义.
【备考提示】:
导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.
练习5:
(2011年高考江西卷文科4)曲线在点A(0,1)处的切线斜率为()
A.1B.2C.D.
【答案】A
【解析】.
考点五 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
例6.设函数在及时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
【解析】(Ⅰ),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范围为.
【名师点睛】利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.
【备考提示】:
导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.
练习6:
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
【解析】由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
17.(2010年高考山东卷文科21)(本小题满分12分)
已知函数
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(II)当时,讨论的单调性.
【解析】解:
(Ⅰ)当
所以
因此,
即曲线………………
又
所以曲线
(Ⅱ)因为,
所以,
令
(1)当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减
(2)当a≠0时,由f(x)=0,
即ax2-x+1=0,解得x1=1,x2=1/a-1
①当a=1/2时,x1=x2,g(x)≥0恒成立,此时f(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当01>0
x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减
x∈(1,1/a-1)时,g(x)>0,此时f(x) x∈(1/a-1,+∞)时,g(x)>0,此时f(x) 考点六 函数的应用 建立函数模型,利用数学知识解决实际问题. 例7.(2011年高考山东卷文科21) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位: 米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元. (Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的. 【解析】(I)设容器的容积为V, 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 (II)由(I)得 由于 当 令 所以 (1)当时, 所以是函数y的极小值点,也是最小值点。 (2)当即时, 当函数单调递减, 所以r=2是函数y的最小值点, 综上所述,当时,建造费用最小时 当时,建造费用最小时 【名师点睛】本题以立体几何为背景,考查函数的实际应用,题目新颖,考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法,考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力. 【易错专区】 问题1: 函数零点概念 例1.函数的零点为. 解析: 令=0,解得: 或,所以该函数的零点为2 【名师点睛】: 函数的零点就是方程的实数根,是一个实数,而不是点. 【备考提示】: 准确理解概念是解答好本题的关键. 问题2: 零点定理 例2.已知有且只有一根在区间(0,1)内,求的取值范围 【解析】: 设, (1)当=0时方程的根为-1,不满足条件. (2)当≠0∵有且只有一根在区间(0,1)内又=1>0 ∴有两种可能情形①得<-2或者②得不存在 综上所得,<-2 【名师点睛】: 对于一般,若,那么,函数在区间(a,b)上至少有一个零点,但不一定唯一.对于二次函数,若则在区间(a,b)上存在唯一的零点,一次函数有同样的结论成立.但方程=0在区间(a,b)上有且只有一根时,不仅是,也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时,就是这种情况. 由图可知=0在区间(a,b)上有且只有一根,但是
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- 函数 题型 解法
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