函数周期与对称轴.doc
- 文档编号:2107324
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOC
- 页数:4
- 大小:771KB
函数周期与对称轴.doc
《函数周期与对称轴.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数周期与对称轴.doc(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
抽象函数的周期与对称轴
1.函数的图象的对称性(自身):
定理1:
函数的图象关于直对称。
特殊的有:
①函数的图象关于直线对称。
②函数的图象关于轴对称(奇函数)。
③函数是偶函数关于对称。
定理2:
函数的图象关于点对称;特殊的有:
①函数的图象关于点对称。
②函数的图象关于原点对称(奇函数)。
③函数是奇函数关于点对称。
则的图象,以为对称中心。
证:
方法一:
要证原结论成立只需证
令代入则
方法二:
设它的图象为C;则P关于点的对称点
∵∴∴
定理3:
(性质)
①若的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
②函数与函数的图象关于直线对称.
特殊地:
与函数的图象关于直线对称
③函数的图象关于直线对称的解析式为
④函数的图象关于点对称的解析式为
3.若是偶函数,则必有;若是奇函数,则必有
若为偶函数,则必有;若是奇函数,则必有
2.函数的周期性的主要结论:
结论1:
如果(),周期
结论2:
如果(),周期
证:
令∴①令∴②
由①②得:
∴∴
结论3:
如果定义在上的函数有两条对称轴、对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论4:
如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论5:
如果奇函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论6:
如果函数同时关于两点、()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论7:
如果奇函数关于点()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论8:
如果函数的图像关于点()成中心对称,且关于直线()成轴对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论9:
如果或,那么是周期函数,其中一个周期
结论10:
如果或,那么是周期函数,其中一个周期
结论11:
如果,那么是周期函数,其中一个周期
4
典型例题1:
设是定义在R上的函数,均有当时,求当时,的解析式。
解:
由有得
设则
∴
∴时
例2:
已知满足,,当时,且,若,,求、、的大小关系?
解:
,对称轴∴也为一条对称轴∴∴∴∴,,∴
练习:
设是定义在R上的偶函数,且,当-1≤x≤0,,则f(8.6)=_______
解:
x=0,x=1是y=f(x)对称轴。
T=2
∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
例3:
定义在R上的非常数函数满足:
f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是()(第十二届希望杯高二)
(A)是偶函数,也是周期函数(B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数(D)是奇函数,但不是周期函数
解:
∵f(10+x)为偶函数,∴f(10+x)=f(10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴,因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例4:
设定义域为R的函数、都有反函数,并且和函数的图像关于直线y=x对称,若那么(C)。
A1999;B2000;C2001;D2002。
解:
和函数的图像关于直线y=x对称
∴有
例5:
若函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,c)和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
解析∵y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称,
∴f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称,
∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得:
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**),x=2(a-b)-x得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:
f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数。
练习1:
若函数有求。
解:
知图象关于对称
而的对称中心∴
∴则
2已知是定义在R上的函数且满足,当时有则
是周期函数且周期为2
当时,
其中正确的是
3.对于,有下列命题。
在同一坐标系下,函数与的图象关于直线对称。
若且均成立,则为偶函数。
若恒成立,则为周期函数。
若为单调增函数,则(且)也为单调增函数,其中正确的
4.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,求的值。
解
5.设定义在R上,有且当时,
(1)求证:
且当时,
(2)求证:
在R上递减。
解:
1令,得
∵∴
设,则+
有∴
(2)设则
即∴∴在R上递减
【模拟试题】
1.已知满足,且是奇函数,若则(B)
A.B.C.D.
2.已知是定义在R上的偶函数,且对任何实数均成立,当时,,当时,(C)
A.B.C.D.
3.若函数,都有则等于(D)
A.0B.3C.D.3或
4.函数是(C)
A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数D.周期为的奇函数
5.的图象关于y轴对称的充要条件(C)
A.B.C.D.
6.如果且则可以是(D)
A.B.C.D.
7.为偶函数的充要条件是(B)
A.B.C.D.
8.设是R上的奇函数,当时,,则(B)
A.0.5B.C.1.5D.
9.设,有那么(A)
A.B.
C.D.
10.定义在R上,则与的图象关于(D)
A.对称B.对称C.对称D.对称
11.是R上的奇函数,且,则0。
12.图象的对称轴中最靠近y轴的是。
13.为奇函数,且当时,则当时。
14.偶函数的定义域为R,且在上是增函数,则下列正确的是
(2)。
1)2)
3)4)
15如果函数的图象关于和都对称,证明这个函数满足
证:
令,则∴即
3.已知对任意实数t都有,比较与的大小。
解:
对称轴是1∴
4.定义在实数集上的函数,对一切实数x都有成立,若方程仅有101个不同实根,求所有实根之和。
解:
设即∴
∴所有实根之和为
5.求证:
若为奇函数,则方程=0若有根一定为奇数个。
高考题:
1.已知在R上是奇函数,且A
A.-2B.2C.-98D.98
2.函数满足,若,则(C)
ABCD
3.(安徽理数)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f
(1)=1,f
(2)=2则的值为()
A、B、1C、D、2
4.(09江西卷)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为(C)
A.B.C.D.
5.(09东兴十月)定义在R上的函数的图象关于点对称,且满足,,,则_______
6.定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于(B)
A.-1B.0 C.1D.4
7.(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R,若与都是奇函数,则(D)
A、2009B、-2009C、-2D.、2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 周期 对称轴