函数对称性的三类题型.doc
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对称性
一、有关对称性的常用结论
(一)函数图象自身的对称关系(加法)
1、轴对称
(1)=函数图象关于轴对称;
(2)函数图象关于对称
;
(3)若函数定义域为,且满足条件,则函数的图象关于直线对称。
2、中心对称
(1)=-函数图象关于原点对称;.
(2)函数图象关于对称
;
(3)函数图象关于成中心对称
(4)若函数定义域为,且满足条件(为常数),则函数的图象关于点对称。
(二)两个函数图象之间的对称关系(减法)
1.若函数定义域为,则两函数与的图象关于直线对称。
推论1:
函数与函数的图象关于直线对称。
推论2:
函数与函数的图象关于直线对称。
2.若函数定义域为,则两函数与的图象关于点对称。
推论:
函数与函数图象关于点对称。
类型一:
双对称问题
1.设是定义在R上的偶函数,且,当时,,则___________
解:
因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以的对称轴;又因为,所以也是的对称轴,故是以2为周期的周期函数,所以。
2.(2005年广东卷I)设函数,,且在闭区间[0,7]上只有。
(1)试判断函数的奇偶性;非奇非偶函数
(2)试求方程在闭区间[-2005,2005]上根的个数并证明你的结论。
802
3.设是定义在R上的奇函数,且的图象关于直线对称,则:
_____________
解:
函数的图像既关于原点对称,又关于直线对称,所以周期是2,又,图像关于对称,所以,所以
类型二:
对称轴和对称中心的判断
1.函数为偶函数,则函数的图像的对称轴方程为
2.函数为奇函数,则函数的图像的对称中心为
(-2,0)
3.函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称
解:
由命题1知,两函数图象关于,即关于直线x=1对称。
4.函数,该函数图象的对称中心是.
【分析】本例的函数是等次分式函数,自然想到分离法,化归为反比例函数变换所得.
【解法】函数,该函数可由反比例函数向左平移1个单位,再向下平移2个单位所得.
因为反比例函数的对称中心是自然也进行相应地平移,
所以函数图象的对称中心是
类型三:
求值
1.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=________.
2.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
解析:
f(x)==1+.设g(x)=,则g(-x)==-g(x),
所以g(x)是R上的奇函数.所以若g(x)的最大值是W,则g(x)的最小值是-W.所以函数f(x)的最大值是1+W,最小值是1-W,即M=1+W,m=1-W,所以M+m=2.
答案:
2
3.,则.
解析是由平移得到的,
由于是奇函数,图象关于原点对称,
因此的对称中心为,,
所以
,
故答案为11
三次函数的图形都是对称图形
对于任意三次函数,它的图像有唯一的对称中心
(2012年四川)设函数,是公差为的等差数列,则
A.B.C.D.
解析
把奇函数的图象向右平移个单位,再向上平移个单位就是的图象了,所以的图象关于对称.
又因为是公差为的等差数列,所以和、和都关于直线对称,
所以与、与都关于对称.
又因为已知条件
所以,,,.
所以
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- 函数 对称性 题型