函数单调性奇偶性经典例题.doc
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函数的性质的运用
1.若函数是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数
图象上的是()
A.B.C.D.
2.已知函数是奇函数,则的值为()
A.B.C.D.
3.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若,则f(x)
的解析式为_______.
4.已知函数f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有
实根之和为________.
5.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x,y∈R
都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0对任意x∈R恒成立,
求实数k的取值范围.
6.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
7.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:
f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
8.设f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,
(1)求证:
f
(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y);
(2)设f
(2)=1,解不等式。
9.设函数对都满足,且方程恰有6个不同
的实数根,则这6个实根的和为()
A.0B.9C.12D.18
10.关于的方程的两个实根、满足,
则实数m的取值范围
11.已知函数满足,且∈[-1,1]时,,
则与的图象交点的个数是()
A.3B.4C.5 D.6
12.已知函数满足:
,则=;当时=,则
=
13.已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0 y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数; (2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 14.函数f(x)=的图象() A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 15.函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 16.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 则b的取值范围是_________. 17.已知函数f(x)=ax+(a>1). (1)证明: 函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 18.求证函数f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数. 19设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足: (i)f(x1-x2)=; (ii)存在正常数a使f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a. 20.已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-)=0,当x>-时,f(x)>0. (1)求证: f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 21.已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0, 设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤}, 求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值. 22.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于() A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 23.已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值 范围是() A.(2,3) B.(3,) C.(2,4) D.(-2,3) 24.若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为_________. 25.如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(x+2)=-f(x), 试比较f(),f(),f (1)的大小关系_________. 参考答案 6. (1)f (1)=f(1/1)=f (1)-f (1)=0。 (2)当0 故f单调减。 (3)f(3)=-1,f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3),f(9)=-2而f(|x|)<-2=f(9),且f单调减,所以|x|>9x>9或x<-9 7. (1)设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f (2)+f (2)-1=5,∴f (2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f (2), ∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2, 解得-1<m<,故解集为. 13.证明: (1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减. 令0 ∵0 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<<1,由题意知f()<0, 即f(x2) ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 14.解析: f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 答案: C 15.解析: 令t=|x+1|,则t在(-∞,-1上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上递减. 答案: (-∞,-1 16.解析: ∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x, ∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞单调递增,故a>0.又知0<x1<x,得x1+x2>0, ∴b=-a(x1+x2)<0. 答案: (-∞,0) 17.证明: (1)设-1<x1<x2<+∞,则x2-x1>0,>1且>0, ∴>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴>0, 于是f(x2)-f(x1)=+>0 ∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数. (2)证法一: 设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则且由0<<1得0<-<1,即<x0<2与x0<0矛盾,故f(x)=0没有负数根. 证法二: 设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,则<-2,<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾,若x0<-1,则>0,>0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 18.证明: ∵x≠0,∴f(x)=, 设1<x1<x2<+∞,则. ∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数. 19.证明: (1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)= =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f[x-(-a)]=. ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数. 20.证明: 设x1<x2,则x2-x1->-,由题意f(x2-x1-)>0, ∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>0, ∴f(x)是单调递增函数. (2)解: f(x)=2x+1.验证过程略. 21.解: 由且x≠0,故0 又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,综上得2 ∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-)2-知: g(x)在B上为减函数,∴g(x)max=g (1)=-4. 22.解析: f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 答案: B 23.解析: ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0. ∴f(a-3)<f(a2-9). ∴∴a∈(2,3). 答案: A 24.解析: 由题意可知: xf(x)<0 ∴x∈(-3,0)∪(0,3) 答案: (-3,0)∪(0,3) 25.解析: ∵f(x)为R上的奇函数 ∴f()=-f(-),f()=-f(-),f (1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且-> ->-1. ∴f(-)>f(-)>f(-1),∴f()<f()<f (1). 答案: f()<f()<f (1)
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- 函数 调性 奇偶性 经典 例题
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