关于数列通项公式解法的探讨论文.doc
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课程论文首页
院、系(部)
数学系
专业
数学与应用数学(师范)
班级
072
学号
710401209
姓名
方先锋
课程教师
张金辉
课程名称
初等数学研究
论文题目
关于数列通项公式解法的探讨
成绩
评
语
签字:
年月日
复
核
人
意
见
签字:
年月日
关于数列通项公式解法的探讨
方先锋
摘要:
数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等。
因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。
关键词:
通项公式数列累加法待定系数法
数列通项公式的解法很多,我们现在就对其比较常见的方法系统的总结出来,希望对读者有帮助。
一、观察法
即归纳推理,一般用于解决选择、填空题。
过程:
观察→概括、推广→猜出一般性结论。
例1:
根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:
(1)9,99,999,9999,…
(2)(3)
(4)(5),,,。
。
。
解:
(1)变形为:
101-1,102―1,103―1,104―1,……∴通项公式为:
(2)(3)
(4).(5)
点评:
关键是找出各项与项数n的关系。
针对性训练:
①3333333333333…()
②…()
二、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
例2:
等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式.
解:
设数列公差为d(d>0)
∵成等比数列,
点评:
当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。
针对性训练:
已知等比数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式。
解析:
由题意,,又是等比数列,公比为
∴,故数列是等比数列,,∴
三、公式法
,即已知数列前n项和,求通项。
例3:
已知下列两数列的前n项和的公式,求的通项公式。
(1)。
(2)
解:
(1)=1
===3
此时,。
∴=3为所求数列的通项公式。
(2),
当时
由于不适合于此等式。
∴
点评:
要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。
针对性训练:
①已知数列前n项和满足:
,求此数列的通项公式。
②已知数列中,且,求数列的通项式.
①解:
当时,
当时,
所以:
②解:
由已知得,
化简有,由类型
(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学归纳法来求解.
四、累加法
递推公式为,其中的和比较易求,通常解法是把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例4.若在数列中,,,求通项。
解析:
由得,
所以,
,
…,
,
将以上各式相加得:
,
又所以=
针对性训练:
已知数列中,求的通向公式
解:
由已知得,,
令,代入个等式累加,即
五、累乘法
推公式为。
解法:
把原递推公式转化为,利用累乘法求解。
例5已知数列满足,求的通向公式。
解:
由条件知,分别令n=1,2,3……,(n-1),代入上式得(n-1)个等式累乘之,即
针对性训练:
设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=________.
解:
已知等式可化为:
()(n+1),即
时,
==.
评注:
本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.
六、辅助数列法
6.1形如型
(1)若,即(其中p,q均为常数,)。
解法:
一般采用待定系数法将原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解
例6已知数列中,,求。
解:
令
与已知比较,得
,
所以,数列是以为首项,2为公比的等比数列
所以即
(2)若(其中k,b是常数,且)
求通项方法有以下两种方向:
ⅰ.相减法
例7.在数列中,求通项.
解:
,①
时,,
两式相减得
.令,则
利用类型5的方法知
即②
再由累加法可得.
亦可联立①②解出.
ⅱ.待定系数法
例8.在数列中,,求通项.
解:
原递推式可化为
比较系数可得:
x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列,首项,公比为.
即:
故.
(3)若(其中q是常数,且n0,1)
①若p=1时,即:
,累加即可.
②若时,即:
,
求通项方法有以下三种方向:
i.两边同除以.
即:
令,则,
然后类型1,累加求通项.
ii.两边同除以.即:
令,则可化为.然后转化为类型5来解,
iii.待定系数法:
设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.
例9.(2003天津理)
设为常数,且.
证明对任意≥1,;
证法1:
两边同除以(-2),得
令,则
=
=
=
.
证法2:
用待定系数法
设,即:
比较系数得:
所以所以,
所以数列是公比为-2,首项为的等比数列.
即.
6.3形如型
方法:
不动点法:
我们设,由方程求得二根x,y,由有
同理,两式相除有,从而得,再解出即可.
例11.设数列{an}满足,求{an}的通项公式.
分析:
此类问题常用参数法化等比数列求解.
解:
对等式两端同时加参数t,得:
令,解之得t=1,-2代入得
,
相除得,即{}是首项为,
公比为的等比数列,=,解得.
总之,求数列通向公式的方法并不满足以上所述,对于同一问题的求解也不仅是一种方法只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结,将知识与方法学活,才可以做到游刃有余。
注释:
①数列:
按一定次序排列的一列数。
②待定系数法:
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式的解决问题的方法。
③通项公式:
能把数列的项与序号之间的关系表示出来的式子。
参考文献:
[1]高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.[J]试题与研究,2008,20.
[2]龙志明.数列通项公式的九种求法.[J]求学,2005,11.
[3]陈云烽.递推数列通项的求解.[J]中学数学教学参考,2007,6.
[4]刘有路.叠加叠乘在高考数列解题中的应用.[J]试题与研究,2005,14.
[5]高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.[J]试题与研究,2008,20.
[6]吴怀芳.求数列通项的几种常见类型.[J]试题与研究,2005,26.
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