全国高中数学联赛江苏赛区复赛.doc
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2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
一、填空题(本题满分64分,每小题8分)
1.已知数列{an}、{bn}满足an=2,bn=log(a1a2a3…an),n∈N*,则数列{bn}的通项公式是.
答案:
bn=,n∈N*
简解:
由an=2,得a1a2a3…an=2=2,n∈N*.
所以bn=×=,n∈N*.
2.已知两点M(0,2)、N(-3,6)到直线l的距离分别为1和4,则满足条件的直线l的条数是.
答案:
3
简解:
易得MN=5,以点M为圆心,半径1为的圆与以点N为圆心,半径为4的圆外切,故满足条件的直线l有3条.
3.设函数f(x)=ax2+x.已知f(3)<f(4),且当n≥8,n∈N*时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数a的取值范围是.
答案:
(-,-)
简解:
(方法一)因为当n≥8时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以a<0,此时f(n)>f(n+1)恒
成立等价于f(8)>f(9),即64a+8>81a+9,解得a<-.
因为f(3)<f(4),所以9a+3<16a+4,解得a>-.即a∈(-,-).
(方法二)考察二次函数f(x)=ax2+x的对称轴和开口方向.
因为当n≥8时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以a<0,且-<,解得a<-.
因为f(3)<f(4),所以->,解得a>-.即a∈(-,-).
(第4题)
C
A
B
D
D1
C1
B1
A1
P
Q
R
4.已知ABCD-A1B1C1D1是边长为3的正方体,
点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的
点,AP=AQ=AR=1,则四面体C1PQR的
体积为.
答案:
简解:
因为C1C⊥面ABCD,所以C1C⊥BD.
又因为AC⊥BD,
所以BD⊥面ACC1,所以AC1⊥BD.
又PQ∥BD,所以AC1⊥PQ.
同理AC1⊥QR.所以AC1⊥面PQR.
因为AP=AQ=AR=1,所以PQ=QR=RP=.
因为AC1=3,且VA-PQR=··12·1=,所以
VC-PQR=··()2·3-VA-PQR=.
5.数列满足,N*.记Tn=a1a2…an,则T2010等于.
答案:
-6
简解:
易得:
a1=2,a2=-3,a3=-,a4=,a1a2a3a4=1.
又a5=2=a1,由归纳法易知an+4=an,n∈N*.
所以T2010=T2008×a2009×a2010=a1a2=-6.
6.骰子是一个立方体,个面上分别刻有、、、、、点.现有质地均匀的
骰子10只.一次掷只、只骰子,分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为的
概率的比为.
答案:
1:
6.
提示:
掷3只骰子,掷出6点的情况为1,1,4;1,2,3;2,2,2.共3+3!
+1=10种,
概率为.
掷4只骰子,掷出6点的情况为1,1,1,3;1,1,2,2.共4+=10种,概率
为.所以概率的比为:
=1:
6.
A
B
D
C
(第7题)
7.在△ABC中,已知BC=5,AC=4,cos(A-B)=,
则cosC=.
答案:
简解:
因,故.如图,作AD,
使∠BAD=∠B,则∠DAC=∠A-∠B.
设AD=BD=x,则DC=5-x.在△ADC中,
由余弦定理得x=3.再由余弦定理得cosC=.
8.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点,则
的最大值为.
答案:
简解:
设点M(x,y),则()2===1+.
令4x-1=t,
当t≤0时,显然≤1.
当t>0时,则()2=1+≤1+=,且当t=3,即x=1时,等号成立.
所以的最大值为,此时点M的坐标为(1,±).
二、解答题(本题满分16分)
x
O
B
A
y
C
D
E
F
P
如图,点P是半圆C:
x2+y2=1(y≥0)上位于x轴上方的任意一点,A、B是直径的两个端点,以AB为一边作正方形ABCD,PC交AB于E,PD
交AB于F,求证:
BE,EF,FA成等比数列.
证明:
设P(cosα,sinα),C(-1,-2),D(1,-2),
E(x1,0),F(x2,0).
因为点P、E、C三点共线,所以=,
所以x1=-1.………………5分
由点P、F、D三点共线,所以=,
所以x2=+1.………………10分
所以BE=x1+1=,EF=x2-x1=,FA=.
所以BE·FA=×==EF2.
即BE,EF,FA成等比数列.………………16分
三、解答题(本题满分20分)
设实数,满足,,函数,
.若存在,,,使,求所有的实数的值.
解答:
因为时,,
当且仅当时等号成立,……………5分
所以
,……………15分
当且仅当及与时等号成立.
故.……………20分
四、解答题(本题满分20分)
数列{an}中,已知a1∈(1,2),an+1=an3-3an2+3an,n∈N*,求证:
(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1)<.
证明:
(方法一)由an+1=an3-3an2+3an,得an+1-1=(an-1)3.
令bn=an-1,则0<b1<1,bn+1=bn3<bn,0<bn<1.………………5分
所以(ak-ak+1)(ak+2-1)=(bk-bk+1)×bk+2
=(bk-bk+1)×bk+13<(bk-bk+1)×(bk3+bk2bk+1+bkbk+12+bk+13)
<(bk4-bk+14).………………15分
所以(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1)
<(b14-b24)+(b24-b34)+…+(bn4-bn+14)
=(b14-bn+14)<b14<.………………20分
(方法二)由an+1=an3-3an2+3an,得an+1-1=(an-1)3.
令bn=an-1,则0<b1<1,bn+1=bn3,0<bn<1.………………5分
所以(a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1)
=(b1-b2)b3+(b2-b3)b4+…+(bn-bn+1)bn+2
=(b1-b2)b23+(b2-b3)b33+…+(bn-bn+1)bn+13
.………………20分
2010年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分标准
加试
一、(本题满分40分)
圆心为I的的内切圆分别切边AC、AB于点E、F.设M为线段EF上一点,
证明:
与面积相等的充分必要条件是.
A
B
C
E
F
P
Q
M
I
D
A
B
C
E
F
M
I
(第1题)
证明:
过点M作、,垂足分别为P、Q.圆I切边BC于点D,
则,,.
显然AF=AE,所以,从而推知,得
.
又,所以
与面积相等的充要条件是.①
由①可知,问题转化为证明:
的充分必要条件是.………10分
首先证明:
若,则.
由可知点M在直线ID上.
因为B、D、I、F四点共圆,所以,.
又IE=IF,则由正弦定理得
即,而.所以.……………30分
其次证明:
若,则.
设直线ID与EF交于点,则由上述证明可知,于是有
,从而.故命题成立.……………40分
二、(本题满分40分)
将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一,使得没有三边均为蓝色的三角形.对k=1,2,…,n,记是由顶点引出的蓝色边的条数,求证:
.
证明:
不妨设,并且由点A向引出b条蓝色边,则之间无蓝色边,以外的个点,每点至多引出b条蓝
色边,因此蓝色边总数.…………20分
故.命题得证.……………40分
三、(本题满分50分)
设正整数的无穷数列(N)满足,(),
求的通项公式.
解:
由已知得.
若有某个,使,则,…………10分
从而,这显然不可能,因为是正整数的
无穷数列.故数列中的项是严格递增的.…………20分
从而由可知,,,.…………30分
于是由的递推公式及数学归纳法知.…………40分
显然数列满足要求,故所求的正整数无穷数列为.
…………50分
四、(本题满分50分)
设p是一个素数,.设,是整数,满足.求证:
存在整数,,使得.
证明:
由条件可知,则.
因是素数,故有.设,…………20分
则
…………30分
(这里,)
.
命题得证.…………50分
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