全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一.doc
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全国普通高等学校高考数学模拟试卷理科一.doc
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2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)
(一)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|﹣x2+4x≥0},,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=( )
A.{2,4} B.{0,2} C.{0,2,4} D.{x|x=2n,n∈N}
2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是( )
A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i
3.(5分)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是( )
A.a5是常数 B.S5是常数 C.a10是常数 D.S10是常数
4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
5.(5分)已知点F为双曲线C:
(a>0,b>0)的右焦点,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)已知函数则( )
A.2+π B. C. D.
7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为( )
A. B. C. D.
8.(5分)已知函数(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象( )
A.可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移个单位而得
B.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得
C.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得
D.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得
9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( )
A.﹣73 B.﹣61 C.﹣55 D.﹣63
10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.20 C.24 D.32
12.(5分)若函数y=f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,+∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知向量,,且,则= .
14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为 .
15.(5分)在等比数列{an}中,a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设bn=a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{bn}的前2n项和为 .
16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c=2b=2,2bcosA+acosC+ccosA=0,又点D满足.
(1)求a及角A的大小;
(2)求的值.
18.(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB=∠A1AD=60°.
(1)求证:
BD⊥CC1;
(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.
19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;
②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为;
②若,则P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544.
20.(12分)已知椭圆C:
的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:
y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?
若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.
21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围;
(2)已知函数g(x)=ex﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g
(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.
(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程;
(2)分别记直线l:
,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|2x+1|.
(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集;
(2)若正数m,n满足m+2n=mn,求证:
f(m)+f(﹣2n)≥16.
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)
(一)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|﹣x2+4x≥0},,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=( )
A.{2,4} B.{0,2} C.{0,2,4} D.{x|x=2n,n∈N}
【解答】解:
A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4},
={x|3﹣4<3x<33}={x|﹣4<x<3},
则A∪B={x|﹣4<x≤4},
C={x|x=2n,n∈N},
可得(A∪B)∩C={0,2,4},
故选:
C.
2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是( )
A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i
【解答】解:
由,
得x+yi==2+i,
∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i.
故选:
A.
3.(5分)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,则下列命题正确的是( )
A.a5是常数 B.S5是常数 C.a10是常数 D.S10是常数
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和是Sn,且a4+a5+a6+a7=18,
∴a4+a5+a6+a7=2(a1+a10)=18,
∴a1+a10=9,
∴=45.
故选:
D.
4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解:
设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1,
∴S△BCI=××=,
S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=,
∴所求的概率为
P===.
故选:
A.
5.(5分)已知点F为双曲线C:
(a>0,b>0)的右焦点,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
设双曲线C:
的右焦点F(c,0),
双曲线的渐近线方程为y=x,
由x=a代入渐近线方程可得y=b,
则A(a,b),可得AF的中点为(,b),
代入双曲线的方程可得﹣=1,
可得4a2﹣2ac﹣c2=0,
由e=,可得e2+2e﹣4=0,
解得e=﹣1(﹣1﹣舍去),
故选:
D.
6.(5分)已知函数则( )
A.2+π B. C. D.
【解答】解:
∵,
=∫cos2tdt=
==,
∴
=()+(﹣cosx)
=﹣2.
故选:
D.
7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
第1次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=2;
第2次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=3;
第3次循环后,S==2,不满足退出循环的条件,k=4;
…
第n次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=n+1;
…
第2018次循环后,S=,不满足退出循环的条件,k=2019
第2019次循环后,S==2,满足退出循环的条件,
故输出的S值为2,
故选:
C.
8.(5分)已知函数(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象( )
A.可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移个单位而得
B.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得
C.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得
D.可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位而得
【解答】解:
函数=sin(2ωx)﹣•+
=sin(2ωx﹣)(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为,
∴•=,∴ω=2,f(x)=sin(4x﹣)=cos[(4x﹣)﹣]=cos(4x﹣).
故把函数g(x)=cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,
故选:
B.
9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( )
A.﹣73 B.﹣61 C.﹣55 D.﹣63
【解答】解:
展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1+1)6=﹣64;
=(2x﹣3)(1+++…),
其展开式中的常数项为﹣3+12=9,
∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为
﹣64﹣9=﹣73.
故选:
A.
10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【解答】解:
如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心
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