考研讲座18高数线代复习导引文档格式.docx
- 文档编号:21068944
- 上传时间:2023-01-27
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:35.56KB
考研讲座18高数线代复习导引文档格式.docx
《考研讲座18高数线代复习导引文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研讲座18高数线代复习导引文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
基点不在于你看了多少难题,关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画“联络图”。
每学完一章,抽一定时间复习小结,静心地用笔理线索。
先默写出各个定义,中心定理,辅助定理,简单结论,思考其相互关系。
再回顾主要定理证明——关键步骤是哪步,有无特色细节,可否模仿。
哪些可以收编为练习。
条件能否削弱,有无相应反例。
在主要参考书上,有没有更细化的评注或说明或应用。
有没有重要算法与公式。
如果有,是否有前提条件,是否要判断分类,……。
这是一个下意识的系统消化手段,也是一个有效的记忆方法。
记住了而还没有消化好的内容,则一点一点地成为定向思维的材料。
当然要做题。
有了一定的知识准备后,首先做教科书习题。
演练简单的题目,体念并熟悉概念与公式。
剖析复杂的题目,了解如何综合考查自己,学习分步逻辑推理。
把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。
进一步做参考书及资料上的题,感受了解考研题目如何考查自己。
逐渐形成用“猎奇”的眼光去挑选典型题目的能力
数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个“材料库”。
尽可能熟悉课程讨论的基本对象。
就如我将在讲解时(微积分部分)推荐的,“三个典型的(极限)不存在”,“x趋于+∞时,指数函数,幂函数,对数函数的无穷大阶数比较。
”“三个典型的不可导”,“四个典型的不可积”,……,等等。
概念记得越准确,观察判断的眼光越犀利。
基本定理,基本方法记得越清晰,分析题目时方向越明白。
当你面对一个题目时,你的自然反应是,“这个题目涉及的概念是……”,而非“在哪儿做过这道题”,才能算是有点入门了。
讲座
(2)笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里,数学工作者们经常受到这样的指责,“一支笔,一张纸,一杯茶,鬼画桃符,脱离实际。
”发难者不懂基础研究的特点,不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响,今天的学生们学习数学时,也不太懂得“写”的重要性。
考研的学生们,往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料,看题看解看答案,或看题想解翻答案。
动笔的时间很少。
数学书不比小说。
看数学书和照镜子差不多,镜子一拿走,印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。
求解一个数学问题时,你不能企图一眼看清全路程。
你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件,我首先能得到什么?
”(分析法);
或“要证明这个结论,就是要证明什么?
”(综合法)。
在很多情形下,写出第一步与不写的感觉是完全不同的。
下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样?
”
写成“连续A+不连续B=?
”后就可能想到,只有两个答案,分别填出来再说。
(穷尽法)。
如果,“连续A+不连续B=连续C”
则
“连续C-连续A=不连续B”
这与定理矛盾。
所以有结论:
连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义,比如“函数在一点可导”,其中包含有计算式。
能否掌握并运用这些定义,关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。
比如,
题面上有已知条件
f′
(1)>
0
,概念深,写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时,lim(f(1+h)-f
(1))/h>
0
然后由此自然会联想到,下一步该运用极限的性质来推理。
而写不出的人就抓瞎了
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα,α≠0,要是移项写成
(A-λE)α=0,α≠0,
这就表示α是齐次线性方程组(A-λE)X=0的非零解,进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是“发散性”。
一个数学表达式可能有几个转换方式,也许从其中一个方式会得到一个新的解释,这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路,你得把车先推到山前啊。
望山跑死马。
思考一步写一步,观测分析迈下步。
路只能一步步走。
陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”,那是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说,不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生,第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。
求导运算差,讨论函数的图形特征,积分,解微分方程等,反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式,那是学好线性代数的诀窍。
好些看似很难的问题,选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中,要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。
对于考数学三的同学来说,二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。
掌握了二重积分,就能在两类大题上得分。
要考研吗,要去听指导课吗,最好先自己动笔,尽可能地把基本计算练一练。
经济类考生还格外有个“短板”。
就是不熟悉《解析几何》。
要先下点功夫,做到能熟练地建立平面直角坐标系下的直线方程(点斜式,两点式),求两条直线的交点,随意能画出基本初等函数的图形等等。
我一直向考生建议,临近考试的一段时间里,不仿多自我模拟考试。
在限定的考试时间内作某年研考的全巻。
中途不翻书,不查阅,凭已有能力做到底。
看看成绩多少。
不要以为你已经看过这些试卷了。
就算你知道题该怎么做,你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊,“写”“思”同步步履轻,笔下生花花自红。
讲座(3)拓扑预备说质变
高等微积分(《数学分析》)的第一章,讲实数的完备性。
即全体实数与数轴上的点成功一一对应。
于是我们从此“点”“数”不分。
数轴的一段称为区间。
区间是特殊的数集。
为了方便起见,通常也把半直线说成区间。
记数轴的右端趋向为+∞(正无穷大),左端趋向为−∞(负无穷大)。
有的数学分支虚拟了一个∞点,把直线说成是半径无穷大的园。
+∞与−∞则是这个虚拟点的两侧。
不含端点的区间叫开区间。
以点x0为中心的开区间称为x0的邻域。
历史上约定,说“在点x0的邻近,……”,就是指“在点x0的某个邻域内,……”。
(画外音:
开区间的拓扑定义是,开区间任意一点,总有至少一个邻域,全含于这个开区间内。
)
一元微积分的拓扑基础是区间。
建立在区间基础上的积分叫“黎曼积分”。
自然数集与区间都是含有无穷个数的数集,但两者也有差别。
从有限到无穷,这是质变。
只含有限个数的数集,一定有最大及最小的数,而无穷集则不一定。
比如自然数集有最小值而没有最大值。
数集(0,1)则既没有最小值,也没有最大值。
两个有限集相比时,一定可以分出,谁含有的数较多。
而无限集之间不能这样比。
只能看两个无限集是否能建立一一对应关系。
如果两个无限集之间能建立一一对应,则称这两个数集属于同一级别。
(专业词:
有同样的“势”。
)相当于说这两个数集所含有的数“一样多”,
很有趣也很哲学的是,通过对应2n→n,“偶自然数集”可以与“自然数集”建立一一对应。
即它们属于同一级别。
这表明,无限集的真子集可以与全集建立一一对应,而有限集显然不行。
能与自然数集建立一一对应的无限集,称为可列集。
可列集中的全体数,可以与自然数对应排成一个“序列”:
x1,x2,……,x
n
,……
每个不可列的无限集,都一定能与数集(0,1)建立一一对应。
这样一来,从含有数的“多少”意义来看,只有两类无限集。
可列集或不可列集。
最令人吃惊的是,尽管有理数具有稠密性,即任意两个实数之间必定至少有一个有理数,但是全体有理数是一个可列集。
实轴上几乎全是无理数。
(画外音:
一个小数学实验——可列集的“测度”
让我们用一个个小区间来顺次“包装”可列集的点。
第1个小区间长δ/2,装入x1,第2个小区间长δ/4,装入x2,第3个小区间长δ/8,装入x3,……,第n个小区间长δ/(2的n次方,装入xn,……,按照一一对应方式,将可列集的点全体点,装入了可列个小区间内。
各个小区间的长,顺次组成公比为1/2的无穷递缩等比数列,因而可以算得这可列个小区间的总长为δ,由于δ可以取成任意小的正数,因而这个实验说明了,把一个可列集的点“挤”着排起来,也不会在数轴上占有长度。
用数学专业用语说,可列集的“测度”为0,所以实轴上几乎全是无理数。
讲座(4)函数讨论先“微观”
微分学研究函数。
函数是描述过程的最简单的数学模型。
定义——任给定义域内一点x,通过某一对应规律,有唯一确定的y值与之对应,就称变量y是变量x的函数。
记为y=f(x)
所谓“对应规律”,可能是解析表达式,这是我们所常见的。
可能是一句话显示的规定。
例如,绝对值函数y=|x|,取整函数y=[x],(y=不超过x的最大整数)
也可能是表格等方式,……,在高数学习过程中,还有含参极限,变上限积分,级数等方式。
定义中的“唯一确定”,排斥了多值情形,有利于讨论反函数。
美国,台湾的微积分教材都不出现反三角函数。
由于三角函数是周期函数,反三角函数需要选定对应区间,以保证反三角函数值能“唯一确定”。
其中,
y=arcsinx
,−1≤x≤1
,−π/2≤y≤π/2
y=arctgx
,x可为任意实数,−π/2≤y≤π/2
记法“y=f(x)”有双重含义。
理解x为定义域内任意一点,它表示这个函数。
理解x为定义域内一点(相对不变),它表示相应的函数值。
在函数概念的深化讨论中,常常用到后一理解。
我们早已接触了六类基本初等函数——常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数。
圈内戏称为“反,对,幂,指,三”。
不如直接记两对加一“幂”。
初等函数——由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的,且由一个数学式子所表示的函数,统称为初等函数。
这个定义有可能使得函数的定义域是一个可列集。
比如,y=√(cos²
x−1),一般教材上会说,我们所讨论的函数,其定义域是区间或区间的并。
大学数学还让学生学习两类“分段函数”。
或是在不同的定义区间内,分别由不同的初等函数来表示的函数;
或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点,是先做微观分析。
即讨论函数的连续性,可导性,可微性。
再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。
即单调性,有界性,奇偶性,周期性等。
所谓“微观分析”,即是任取一点x0,讨论及描述函数的相对变化。
选定一个中心点x0,从坐标的角度讲,可以看成是把原点平移;
从物理角度说,是给定一个初始点;
从观察角度议,是选好一个边际点。
把动点x在x0邻近变动称为“自变量x(在x0处)获得增量Δx”。
(潜台词:
关键词“增量”,既是一个词,又是一种新的思维方式。
微量分析考虑的问题是:
在x0点邻近,如果自变量x有一个增量Δx,则函数相应该有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
鉴于函数的任意性与复杂性,“减号”只能表示事实,没有一般的计算意义。
我们如何表述,研究或估计这个Δy呢?
第一考虑自然是变化关系。
当Δx→0时,Δy会有什么变化趋势呢?
三种可能,Δy或趋于0,或不趋于0,或没有一定的趋向。
如果Δx→0时,必有Δy→0,就称函数在x0点连续。
第二考虑是“变化率”。
中国人把除法称为“归一法”。
无论Δx的绝对值是多少,商式Δy/Δx的含义总是,“当自变量变化一个单位时,函数值平均变化多少。
”
有了极限观念,自然会考虑,当Δx→0时,函数的平均变化率Δy/Δx有什么变化趋势呢?
两种可能,或者极限存在,或不存在。
如果Δx→0时,Δy/Δx有极限,就称函数在点x0可导。
称极限值为函数在点x0的导数。
请看看,“连续”与“可导”的概念,出现得多么自然啊。
这理的关键是极限观念。
我们中国人在极限问题上先天不足。
学了微积分,知道从有限到无穷是质变。
牵涉“无穷”的问题都得用极限工具。
形成一点极限思维,那就是很大的收获。
函数在区间上每一点连续,就称函数在区间上连续。
函数在区间上每一点可导,就称函数在区间上可导。
所产生的对应关系称为该函数的导函数。
微积分以中值定理为“桥粱”,用导函数讨论函数的宏观特征。
这是一元微分学的基本目的。
因此,可导性讨论与导数计算是第一基础。
考研复习《高数》的第一任务,是基本上理解导数定义并能作简单的定义讨论,最重要的是能熟练地求各类函数的导数。
导数定义作用于基本初等函数,生成一套有序的求导公式。
伴随着初等函数的结构顺序,《高等数学》建立了“和,差,积,商函数求导法则”与处理复合函数的“链锁法则”。
进而还有“取对数求导法”,“用参数式表述的函数求导法”,“隐函数求导法”,“分段函数求导法”,……,等等。
一切函数皆可讨论可导性,计算导数。
练习求导,实在可行。
娴熟地计算与讨论导数,是讨论函数宏观特征,乃至比较与估计定积分的前提与手段。
导数好,则心有灵兮一点通,求不定积分,解微分方程,……,必定是处处反应特好。
要先练完教材上的求导练习,再买本《高等数学》习题集,做完全部求导题。
练!
让你明年开春复习提高时,运算障碍最少。
回忆一下吧。
小时候,九九表你背了用了多少年?
!
初中时,有理数运算算了多少年?
中学里,代数式运算你又算了多少年?
而学习微积分,你花了多少时间作求导计算?
自己就明白高数差的基本原因之所在了。
)
讲座(5)极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。
极限首先是个观念。
面对“没完没了”的过程,用什么方法去准确描述与讨论变量的发展趣势?
自然是极限。
只能是极限。
说起极限概念的历史,学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前,西出阳关无踪影的老子就体验到,“一尺之竿,日取其半,万世不竭。
近两千年前,祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率;
用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形,进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。
他们都体验到,“割而又割,即将n取得越来越大,就能得到越来越精确的园周率值或面积。
国人朴实的体验延续了一千多年,最终没有思维升华得到极限概念。
而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。
极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类,一类是x→x0
;
一类是x→∞
讨论x→x0
的情形,通常设x不会取到x0,这样一来,你可以体验到,x→x0
的过程,和x→∞一样“没完没了”。
无论哪一种情形,我们都不会考虑x从何处出发,也不会考虑x具体如何趋于x0或趋向无穷。
是蛙跳般不停不息,或是左右左右摇摇摆摆,还是连续地一步一趋?
如果真的选择连续地一步一趋方式,对x0来说只有从左侧或右侧两种逼近方式。
对x→∞而言,则有直接向+∞或直接向−∞两种趋向。
通常称这为“两条道路”,其它形式统称为“子路径”。
“当自变量有一个特定的发展趋势时,相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a?
”如果是,则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。
但这是理解极限定义的第一步,最直观的一步。
学习极限概念,首先要学会观察,了解过程中的变量有无一定的发展趋势。
学习体验相应的发展趋势。
其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。
按照游戏规则,我们还是说自然数列没有极限。
我们早有经验,“若分子不变,而分母的绝对值越来越大,则分数的绝对值只会越来越小。
”由此即可以体验到,
自然数n趋于无穷时,数列1/n的极限是0;
x趋于无穷时,函数1/x的极限为0;
进而得到第一个求极限的方法:
“x→∞,要考查一个有理分式函数(即:
多项式/多项式)的变化趋势,将分子分母同除以分式中出现的x最高次方。
再分别观察各项。
我称之为“化零项法”处理∞/∞型未定式。
回顾我们最熟悉的基本初等函数,最直观的体验判断是,x趋于正无穷时,正指数的幂函数都与自然数列一样,无限增大,没有极限。
x趋于正无穷时,底数大于1的指数函数都无限增大,没有极限。
底数大于0而小于1的指数函数则无限接近于0
x→0+时,对数函数lnx趋于-∞;
x趋于正无穷时,lnx无限增大,没有极限。
x→∞时,正弦sinx与余弦cosx都周而复始,没有极限。
在物理学中,正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”y=sin(1/x)。
当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。
你体验过它的震荡吗?
?
具体想来,当x由0.01变为0.001时,只向中心点x=0靠近了一点点,而中间变元u=1/x的跨步却长达900个单位,正弦sinu相应完成了140多个周期。
函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。
你可以进一步体验下去,想想在x=0的邻近,函数各周期的图形是多么“紧紧地挤”在一起,象是一片“电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时,曾看到有的教材竟然把函数y=sin(1/x)的值整整印了一大页,他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
用“震荡因子”能生出很多怪例。
我的导师陈庆益先生爱说,怪例更深刻地揭示自然。
x
→0时,(1/x)sin(1/x)不是无穷大。
直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。
1/x→∞,它为虎作伥,让震荡要多疯狂有多疯狂。
让我们分别取两个“子过程”来观察。
取x=1/2nπ,相应的函数值列是0数列,
又取x=1/(2nπ+π/2),相应的函数值列是2nπ+π/2,趋向+∞,你能否体会到剧烈的震荡。
x→0时,显然有0≤|xsin(1/x)|≤|x|,夹逼着xsin(1/x)→0,你可以体验x好比是个“摩擦因子”,让震荡慢慢消失。
实际上“摩擦因子”可以是x的δ次方,δ是适当小的正数。
有摩擦震荡就会最终平息。
能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到,很多反例都用到了震荡因子。
在同一个过程中,如果有多个变量趋于0,(或绝对值无限增大。
)那更深入一步的体验是,它们的绝对值变小(或变大)的速率是一样呢还是不同的?
我们早就有初等数学知识,“若0<
x<
1,则对同一个x,幂次n越高,幂函数x的n次方值越小。
”由此可以粗略体验到,趋于0的各个变量,其绝对值变小的速率可能是不同的。
可能有的函数趋于0时“跑得更快”。
这在理论上促成了“高阶”,“低阶”概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼,给微积分铸就了自己的倚天剑。
这就是一套精密的极限语言,(即ε–δ语言)。
没有这套语言,我们没有办法给出极限定义,也无法严密证明任何一个极限问题。
比如前述的最简单结论,“x趋于无穷时,函数1/x的极限为0”;
但是,这套语言是高等微积分的内容,非数学专业的本科学生很难搞懂。
数十年来,考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。
研究生入学考题中,考试中心往往用更深刻的“符号体验”来考查极限概念。
这就是
“若x趋于∞时,相应函数值f(x)有正的极限,则当∣x∣充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>
x0时,)总有f(x)>
*“若x趋于x0时,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 讲座 18 高数线代 复习 导引