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基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×
总头数-总脚数)÷
(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×
总头数)÷
(兔脚数一鸡脚数)
找出总量的差与单位量的差。
雪帆提示:
鸡兔同笼的公式千万不要死记硬背,因为它的变形更多!
6.盈亏问题
一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
总份数=(余数+不足数)÷
两次每份数的差
②当两次都有余数;
总份数=(较大余数一较小余数)÷
③当两次都不足;
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的。
确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;
再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
原草量和新草生长速度是不变的;
确定两个不变的量。
生长量=(较长时间×
长时间牛头数-较短时间×
短时间牛头数)÷
(长时间-短时间);
总草量=较长时间×
长时间牛头数-较长时间×
生长量;
8.周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
确定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;
②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9.平均数
①平均数=总数量÷
总份数
总数量=平均数×
总份数=总数量÷
平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷
基本算法:
①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
②基准数法:
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;
以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;
再求出所有差的和;
再求出这些差的平均数;
最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>
m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;
[0.321]=0;
[2.9999]=2;
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运
11.定义新运算
定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
首项:
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;
求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×
公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×
n÷
2;
数列和=(首项+末项)×
项数÷
项数公式:
n=(an+a1)÷
d+1;
项数=(末项-首项)÷
公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷
(n-1);
公差=(末项-首项)÷
(项数-1);
确定已知量和未知量,确定使用的公式;
推导出来的东西要熟记,可以利用植树问题推到!
13.二进制及其应用。
二进制数转换成十进制数
二进制的1101转化成十进制
1101
(2)=1*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3=1+0+4+8=13
转化成十进制要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方
不过次方要从0开始
相反用十进制的13除以2每除一下将余数就记在旁边
最后按余数从下向上排列就可得到1101
十进制转二进制:
用2辗转相除至结果为1
将余数和最后的1从下向上倒序写就是结果
例如302
302/2=151余0
151/2=75余1
75/2=37余1
37/2=18余1
18/2=9余0
9/2=4余1
4/2=2余0
2/2=1余0
1/2=0余1
故二进制为100101110
二进制转十进制
从最后一位开始算,依次列为第0、1、2...位
第n位的数(0或1)乘以2的n次方
得到的结果相加就是答案
例如:
01101011.转十进制:
第0位:
1乘2的0次方=1
1乘2的1次方=2
0乘2的2次方=0
1乘2的3次方=8
0乘2的4次方=0
1乘2的5次方=32
1乘2的6次方=64
0乘2的7次方=0
然后:
1+2+0
+8+0+32+64+0=107.
二进制01101011=十进制107.
由二进制数转换成十进制数的基本做法是,把二进制数首先写成加权系数展开式,然后按十进制加法规则求和。
这种做法称为"
按权相加"
法。
十进制转二进制
十进制数转换为二进制数时,由于整数和小数的转换方法不同,所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后,再加以合并。
1.十进制整数转换为二进制整数
十进制整数转换为二进制整数采用"
除2取余,逆序排列"
具体做法是:
用2去除十进制整数,可以得到一个商和余数;
再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为一时为止,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。
十进制整数转二进制
如:
255=(11111111)B
255/2=127=====余1
127/2=63======余1
63/2=31=======余1
31/2=15=======余1
15/2=7========余1
7/2=3=========余1
3/2=1=========余1
1/2=0=========余1
2.十进制小数转换为二进制小数
十进制小数转换成二进制小数采用"
乘2取整,顺序排列"
用2乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用2乘余下的小数部分,又得到一个积,再将积的整数部分取出,如此进行,直到积中的整数部分为零,或者整数部分为1,此时0或1为二进制的最后一位。
或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来,先取的整数作为二进制小数的高位有效位,后取的整数作为低位有效位。
十进制小数转二进制
0.625=(0.101)B
0.625*2=1.25======取出整数部分1
0.25*2=0.5========取出整数部分0
0.5*2=1==========取出整数部分1
再如:
0.7=(0.101100110...)B
0.7*2=1.4========取出整数部分1
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0
0.2*2=0.4========取出整数部分0
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同的方法。
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×
m2.......×
mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的完成步骤。
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;
没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×
宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×
1+2×
2+3×
3+…+行数×
列数
15.质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1<
a2<
a3<
……<
an。
∙ 求约数个数的公式:
P=(r1+1)×
(r2+1)×
(r3+1)×
……×
(rn+1)
互质数:
如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
16.约数与倍数
约数和倍数:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6,记作(12,18)=6;
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法:
先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;
其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数的方法
17.数的整除
一、基本概念和符号:
1、整除:
如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号:
整除符号“|”,不能整除符号“”;
因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
二、整除判断方法:
∙ 1.能被2、5整除:
末位上的数字能被2、5整除。
∙ 2.能被4、25整除:
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
∙ 3.能被8、125整除:
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
∙ 4.能被3、9整除:
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
(能被7整数的数去掉个位数得到的数减去原来个位数的两倍能被七整除)
6.能被11整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18.余数及其应用
对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷
b=q……r,且0<
r<
b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质:
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19.余数、同余与周期
一、同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
二、同余的性质:
同余的性质
同余这个概念最初是由德国伟大的数学家高斯发现的,有这样的几个定理:
对于两个整数A和B,如果他们除以同一个自然数M的余数相同,就说A、B对于模M同余。
比如说:
12除以5,47除以5,他们有相同的余数2,这时我们就说对于除数5,12和47同余。
记作12≡47(mod5)
同余的性质主要有:
(1)对于同一个除数,两数的和(或差)于他们余数的和(或差)同余数。
(2)对于同一个除数,两数的乘积与他们余数的乘积同余。
(3)对于同一个除数,如果两个整数同余,那么他们的差就一定能被这个数整除。
(4)对于同一个除数,如果两个整数同余,那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质,把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数,使复杂的问题变得简单化。
例1:
求1992×
59除以7的余数。
根据性质2,不用计算两个数的乘积,可以转化位分别求出1992÷
7和59÷
7的余数的积,使计算简单化。
第一个余数是4,第二个余数是3.余数的乘积是12,除以7后的余数是5,所以1992×
59除以7的余数是5.简单记做因为1992×
59≡4×
3≡5(mod7),所以余数是5.
例2:
求2001的2003次方除以13的余数。
根据性质4来解决。
2001除以13的余数等于12,12除以13的余数也是12,可以说2001的2003次方与12的2003次方对于除数13同余。
但是12的2003次方仍然是一个很大的数字,求余数仍然比较困难。
这时的关键找出12的几次方对于13与1同余,经过试验知道12的平方≡1(mod13),而2003=2的1001次方+1,所以12平方的1001次方≡1的1001(mod13).根据同余的性质12的2002次方×
12≡1×
12=12(mod13),所以余数等于12。
例3:
自然数16520、14903、14177除以m得到相同的余数,m最大的数值等于多少?
三个数字比较大,但是他们对于m同余,那么当中任意两个数字的差必然是m倍数,要求m的最大的数值可以转化位求他们的三个差的最大公约数,从而降低计算的难度。
16520-14903=1617=3×
7的平方×
11,16520-14177=2343=3×
11×
71,14903-14177=726=2×
3×
11的平方,三个差的最大公约数是3×
11=33,m的最大数字等于33.
练习:
1)879×
4376×
5283除以19的余数。
2)已知2001年的国庆节是星期一,求2008年的国庆节是星期几?
3)求16的200次方除以21的余数?
4)一个整数除226、192、141都得到相同的余数,并且余数不等于0,这个整数最大是多少?
①自身性:
a≡a(modm);
②对称性:
若a≡b(modm),则b≡a(modm);
③传递性:
若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);
④和差性:
若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:
若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×
c≡b×
d(modm);
⑥乘方性:
若a≡b(modm),则an≡bn(modm);
⑦同倍性:
若a≡b(modm),整数c,则a×
c(modm×
c);
三、关于乘方的预备知识:
①若A=a×
b,则MA=Ma×
b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×
Md
四、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理:
如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
20.分数与百分数的应用
基本概念与性质:
分数:
把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数单位:
把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
①逆向思维方法:
从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
②对应思维方法:
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法:
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换
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