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5.(2020•宣城二模)在如图所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,点E,F分
别为AD,BP的中点,且AD=3,AP=3,PC=.
EF//平面PDC;
(2)若∠CDP=120︒,求该多面体的体积.
6.(2020•南昌二模)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是以AB,CD为底边的等腰梯形,且AB=2AD=4,∠DAB=60︒,AD⊥D1D.
平面D1DBB1⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若D1D=D1B=2,求三棱锥D-CC1B的体积.
7.(2020•厦门模拟)如图,在五面体ABCDEF中,AB⊥平面ADE,EF⊥平面ADE,AB=CD=2.
AB//CD;
(2)若AD=AE=2,且二面角E-DC-A的大小为60︒,求四棱锥F-ABCD的体积.
8.(2020•安阳二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AD=BD=
面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=,E,F分别为PC,BD的中点,
EF//平面PAD;
(2)求证:
平面PAD⊥平面PBD;
(3)求三棱锥B-PCD的体积.
2AB=2,平
2
9.(2020•全国Ⅰ卷模拟)如图已知Rt∆PCD、PD⊥CD,A,B分別为PD,PC的中点PD=2DC=2,将∆PAB沿AB折起,得到四棱锥P'
-ABCD,E为P'
D的中点.
(1)证明:
P'
D⊥平面ABE;
(2)当正视图方向与向量BA的方向相同时,P'
-ABCD的正视图的面积为
4
,求四棱锥P'
-ABCD的体
积.
10.(2020•沙市区校级三模)如图,四棱锥P-ABCD,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB//DC,
CD⊥DA,CD=4AB=4,AD=PD=,F为PB中点.
直线FD⊥BC;
(2)若平面CDF与棱PA交于E,求四棱锥P-CDEF的体积.
11.(2020•沙坪坝区校级模拟)平行四边形ABCD中,∠A=π,2AB=BC,E,F分别是BC,AD的中
3
点.将四边形DCEF沿着EF折起,使得平面ABEF⊥平面DCEF,得到三棱柱AFD-BEC.
DB⊥EF;
(2)若AB=2,求三棱柱AFD-BEC的体积.
12.(2020•渭南二模)《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥面BCD,CD⊥BD.
(1)判断四面体ABCD是否为鳖臑,并说明理由;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
13.(2020•宜宾模拟)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,∆PBC为等腰直角三角形,PB=PC,
PD=
3PC.
PB⊥平面PCD;
(2)若PB=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
14.(2020•5月份模拟)如图所示,直角梯形ABCD中,AD//BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,且平面EDCF⊥平面ABCD.
DF//平面ABE;
(2)若直线BE与平面ABCD所成的角为45︒,求三棱锥F-ABE的体积.
15.(2020•铜仁市二模)如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60︒,G为BE的中点.
AG⊥平面ADF;
(2)若AB=3,BC=1,求三棱锥A-CDF的体积.
16.(2020•赣州模拟)已知三棱锥P-ABC,AC=BC=2,∠ACB=120︒,M是线段AB上靠近B点的三等分点,三角形PBC为等边三角形.
BC⊥PM;
(2)若三棱锥P-ABC的体积为5,求线段PM的长度.
17.(2020•皇姑区校级模拟)已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,∠BAD=60︒,∆PAD是边长为2的正三角形,底面ABCD是菱形,点M为PC的中点.
PA//平面MDB;
(2)求三棱锥A-BDM的体积.
18.(2020•晋中模拟)已知三棱锥P-ABC中,∆ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90︒,PB⊥平面ABC,且PB=AB=4,EC//PB且EC=1PB,D为PA的中点.
直线DE//平面ABC;
(2)求多面体A-BCEP的体积.
19.(2020•钦州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD⊥CD,且AD=CD,
∠ABC=45︒.
AC⊥PB.
(2)若AD=2PA,且四棱锥P-ABCD的体积为1,求∆PAB的面积.
20.(2020•临川区校级模拟)如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,
DE=3AF=3.
平面ABF//平面DCE;
(2)点G在DE上,且EG=1,求平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积之比?
【解答】
四边形A1ACC1是菱形,∴AC//A1C1.又AC⊂平面ABC,A1C1⊂/平面ABC,∴A1C1//平面ABC.同理得,B1C1//平面ABC.
A1C1,B1C1⊂平面A1B1C1,且A1C1B1C1=C1,
∴平面ABC//平面A1B1C1.
又A1B1⊂平面A1B1C1,
∴A1B1//平面ABC.
(2)解:
AC//A1C1,B1C1//BC,∴∠A1C1B1=∠ACB=60︒.
A1C1=AC=2,2B1C1=BC=2,
∴S=1⨯1⨯2⨯3=3.
A1B1C1
222
在菱形A1ACC1中,A1C=3AC1,
∴∠ACC1
11
=60︒,SAACC=2⨯2⨯
3=2.
平面ABC⊥平面ACC1,取AC的中点为M,连接BM,C1M,
∴BM⊥平面ACC1,C1M⊥平面ABC.由
(1)知,平面ABC//平面A1B1C1,
∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M=.
又点B到平面A1ACC1的距离为BM=,连接BC1,
则V=V+V
=1⨯(3+23)⨯3=5.
B-A1B1C1
B-A1ACC1
322
(Ⅰ)证明:
由题意,PA2+AB2=PB2,
∴∠BAP=90︒,则PA⊥AB,
又侧面PAB⊥底面ABCD,面PAB⋂面ABCD=AB,PA⊂面PAB,
∴PA⊥面ABCD.
BD⊂面ABCD,则PA⊥BD,
又∠BCD=120︒,ABCD为平行四边形,则∠ABC=60︒,又AB=AC,
则∆ABC为等边三角形,可得ABCD为菱形,则BD⊥AC.
又PAAC=A,∴BD⊥面PAC;
(Ⅱ)解:
由V
,得M为PB中点,
由(Ⅰ)知,ABCD为菱形,
又AB=AC=2,∠BCD=120︒,
∴S∆ABD
=1⨯2⨯2⨯sin120︒=.
又PA⊥面ABCD,且PA=2,
∴V=V
=1V
=1⨯1⨯3⨯2=3.
P-AMBM-PAB
2D-PAB
P-ABD
233
∠BAC=90︒,∴AB⊥AC,
CE⊥平面ABD,AB⊂平面ABD,∴CE⊥AB,又ACCE=C,∴AB⊥平面ACD,
则AB⊥CD;
在等腰直角三角形BCD中,BC=CD,∴BC⊥CD,又AB⊥CD,ABBC=B,∴CD⊥平面ABC,得CD⊥AC.
在等腰直角三角形ABC中,BC=6,∴AC=3,
又Rt∆ACD中,CD=6,CE⊥AD,∴AD=
而AC2=AEAD,可得AE=,故AE=1AD.
=3.
四边形EFGH为平行四边形,∴EF//GH,得EF//平面BCD,又EF⊂平面ACD,且平面ACD⋂平面BCD=CD,∴EF//CD.
又AE=1AD,得EF=1CD=2,且有AF=1AC=.
333
由CD⊥平面ABC,得CD⊥FG,进而EF⊥FG.
同理可得FG//AB,且FG=2AB=2.
进一步求得BG=2,GH=2,EH=2.
在∆ABD中,由AB2+AD2=BD2,得AD⊥AB.
则S∆AEF
=1AFFE=
,S∆BGH
=1=BGGH=2,
S=1(FG+AB)AF=5,S=2⨯2
=4,
ABGF
SAEHB
=1(EH+AB)AE=52
EFGH
.
∴所求表面积为S=7+5+5.
在平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,
∴EF//AB,
在平行四边形ABCD中,∠BCD=135︒,∴∠ABC=45︒.在∆ABC中,AB=AC,∠ABC=45︒,∴AB⊥AC,
EF//AB,∴EF⊥AC,
PA⊥AB
平面PAB⊥平面ABCD
⎫
⎪
⎪⇒PA⊥平面ABCD,
平面PAB平面ABCD=AB⎬
PA⊂平面PAB⎪⎭
EF⊂平面ABCD,∴PA⊥EF,
EF⊥ACEF⊥PAACPA=A
⎬
⎪⇒EF⊥平面PAC.
AC,PA⊂平面PAC⎪⎭
PM=1,
∴点M到面ABCD的距离为点P到面ABCD距离的2,
由
(1)知,PA⊥平面ABCD,∴点M到面ABCD的距离为4,
S=18,∴V
=1⨯18⨯4=24,
四边形ECDF
M-ECDF3
∴四棱锥M-ECDF的体积为24.5.(2020•宣城二模)在如图所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,点E,F分
【解答】解:
取AP中点G,连结EG、FG,
点E,F分别为AD,BP的中点,
∴EG//PD,FG//AB,
EGFG=G,PDCD=D,∴平面EFG//平面PDC,
EF⊂平面EFG,∴EF//平面PDC.
AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,
AD=3,AP=3,PC=.∠CDP=120︒,
∴PD⊥AD,PD⊥CD,BC⊥PC,
过P作PH⊥CD,交CD延长线于H,则PH⊥平面ABCD,
PD==3,CD==,
S四边形ABCD=
10⨯3=3
,PH=3tan60︒=3,
∴该多面体的体积为:
V=1S⨯PH=1⨯310⨯3=3.
3四边形ABCD3
∆ABD中,AB=4,AD=2,∠DAB=60︒,
得BD2=16+4-2⨯4⨯2⨯1=12,
则AD2+BD2=AB2,即AD⊥BD,
而AD⊥D1D,DD1BD=D,
∴AD⊥平面D1DBB1,
又AD⊂面ABCD,∴平面D1DBB1⊥平面ABCD;
取BD的中点O,由于D1D=D1B,∴D1O=BD,由(Ⅰ)可知平面D1DBB1⊥面ABCD,故D1O⊥面ABCD.
D1D=2,DO=,∴D1O=1,
D1C1//平面ABCD,
∴V=V=V
=1SDO
D-CC1BC1-DCBD1-DCB
∆BCD1
=1⨯1DCBCsin∠DCB=1⨯2⨯2⨯3=3.
32623
AB⊥面ADE,EF⊥面ADE,∴AB//EF,又EF⊂面CDEF.AB≠面CDEF,∴AB//面CDEF
又AB⊂面ABCD,面ABCD⋂面CDEF=CD,
∴AB//CD.
取AD中点O,连接OE
AB⊥面ADE,DA,DE⊂面ADE,∴AB⊥DA,AB⊥DE.
AB//CD,∴CD⊥DA,CD⊥DE.
又DA⊂而ABCD,DE⊂面CDEF,且面ABCD⋂面CDEF=CD.
∴二面角A-DC-E的平面角∠ADE=60︒,
又∆ADE中,AD=AE=2,∴∆ADE是边长为2的正三角形,
∴EO=
3AE=,EO⊥AD,
AB⊥面ADE,∴AB⊥EO又ADAB=A,∴EO⊥面ABCD,
即E到面ABCD的距离EO=3.
EF//AB,EF⊂/面ABCD,AB⊂面ABCD,∴EF//面ABCD.
∴F到面ABCD的距离即为E到面ABCD的距离
在四边形ABCD中,AB//CD,AB=CD,AB⊥DA,
∴矩形ABCD的面积S=2⨯2=4,
∴四棱锥F-ABCD的体积为VF-ABCD
=1⨯S⨯EO=43.
33
如图,取DC的中点G,连接EG,FG,
E,F分别为PC,BD的中点,
∴EG//PD,FG//BC//AD.
由EG⊂/平面PAD,PD⊂平面PAD,得EG//平面PAD,同理FG//平面PAD,
又EGFG=G,∴平面EFG//平面PAD,则EF//平面PAD;
AB=2,平
(2)证明:
由AD=BD=
2AB=2,得AB=2,
则AD2+DB2=AB2,得AD⊥DB;
又PA=PD,取AD中点H,连接PH,则PH⊥AD,
而平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD⋂底面ABCD=AD,
∴PH⊥平面ABCD,则PH⊥BD.
又ADPH=H,∴BD⊥平面PAD,
而BD⊂平面PBD,则平面PAD⊥平面PBD;
(3)解:
S
∆BCD
=S∆ABD
=1⨯2⨯2=2,PH=1.
∴V=V=
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