充分条件与必要条件练习题及答案.doc
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充分条件与必要条件练习题及答案.doc
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例1已知p:
x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:
x1+x2=-5,则p是q的
[]
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析利用韦达定理转换.
解∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,
∴x1,x2的值分别为1,-6,
∴x1+x2=1-6=-5.
因此选A.
说明:
判断命题为假命题可以通过举反例.
例2p是q的充要条件的是
[]
A.p:
3x+2>5,q:
-2x-3>-5
B.p:
a>2,b<2,q:
a>b
C.p:
四边形的两条对角线互相垂直平分,q:
四边形是正方形
D.p:
a≠0,q:
关于x的方程ax=1有惟一解
分析逐个验证命题是否等价.
解对A.p:
x>1,q:
x<1,所以,p是q的既不充分也不必要条件;
对B.pq但qp,p是q的充分非必要条件;
对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件;
说明:
当a=0时,ax=0有无数个解.
例3若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的
[]
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析通过B、C作为桥梁联系A、D.
解∵A是B的充分条件,∴AB①
∵D是C成立的必要条件,∴CD②
由①③得AC④
由②④得AD.
∴D是A成立的必要条件.选B.
说明:
要注意利用推出符号的传递性.
例4设命题甲为:
0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的
[]
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析先解不等式再判定.
解解不等式|x-2|<3得-1<x<5.
∵0<x<5-1<x<5,但-1<x<50<x<5
∴甲是乙的充分不必要条件,选A.
说明:
一般情况下,如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.
当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.
例5设A、B、C三个集合,为使A(B∪C),条件AB是
[]
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.
∴A(B∪C).
但是,当B=N,C=R,A=Z时,
显然A(B∪C),但AB不成立,
综上所述:
“AB”“A(B∪C)”,而
“A(B∪C)”“AB”.
即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).选A.
说明:
画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.
例6给出下列各组条件:
(1)p:
ab=0,q:
a2+b2=0;
(2)p:
xy≥0,q:
|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:
m>0,q:
方程x2-x-m=0有实根;
(4)p:
|x-1|>2,q:
x<-1.
其中p是q的充要条件的有
[]
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
分析使用方程理论和不等式性质.
解
(1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件.选A.
说明:
ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.
分析将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.
例8已知真命题“a≥bc>d”和“a<be≤f”,则“c≤d”是“e≤f”的________条件.
分析∵a≥bc>d(原命题),
∴c≤da<b(逆否命题).
而a<be≤f,
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件.
答填写“充分”.
说明:
充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.
例9ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是
[]
A.0<a≤1 B.a<1
C.a≤1 D.0<a≤1或a<0
分析此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除法解之.当a=1时,方程有负根x=-1,当a=0时,x=
当a≠0时
综上所述a≤1.
即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
说明:
特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.
例10已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件?
分析画出关系图1-21,观察求解.
解s是q的充要条件;(srq,qs)
r是q的充要条件;(rq,qsr)
p是q的必要条件;(qsrp)
说明:
图可以画的随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.
例11关于x的不等式
分析化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a.
解A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}
B={x|2≤x≤3a+1}.
B={x|3a+1≤x≤2}
说明:
集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理清思路,表达准确,推理无误.
要条件?
分析将充要条件和不等式同解变形相联系.
说明:
分类讨论要做到不重不漏.
例13设α,β是方程x2-ax+b=0的两个实根,试分析a>2且b>1是两根α,β均大于1的什么条件?
分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系,解题时需
∴qp.
上述讨论可知:
a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件.
说明:
本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.
例14(1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么
[]
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
分析1:
由丙乙甲且乙丙,即丙是甲的充分不必要条件.
分析2:
画图观察之.
答:
选A.
说明:
抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便
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