余弦定理(二).docx

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　余弦定理

（二）

[学习目标]　1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.

知识点一　正弦定理及其变形

1.＝＝＝2R.

2.a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

知识点二　余弦定理及其推论

1.a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

2.cosA＝，cosB＝，cosC＝.

3.在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

知识点三　正弦、余弦定理解决的问题

思考　以下问题不能用余弦定理求解的是.

（1）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角；

（2）已知两角和一边，求其他角和边；

（3）已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角；

（4）已知一个三角形的三条边，解三角形.

答案　

（2）

题型一　利用余弦定理判断三角形的形状

例1　在△ABC中，cos2＝，其中a、b、c分别是角A、B、C的对边，则△ABC的形状为（　　）

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形D.正三角形

答案　A

解析　方法一　在△ABC中，由已知得

＝＋，

∴cosB＝＝，

化简得c2＝a2＋b2.

故△ABC为直角三角形.

方法二　原式化为cosB＝＝，

∴cosBsinC＝sinA＝sin（B＋C）

＝sinBcosC＋cosBsinC，

∴sinBcosC＝0，

∵B∈（0，π），sinB≠0，∴cosC＝0，

又∵C∈（0，π），∴C＝90°，

即△ABC为直角三角形.

跟踪训练1　在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是（　　）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

答案　B

解析　由余弦定理cosB＝，

代入得＝，

∴a2＋c2－2ac＝0，

即（a－c）2＝0，∴a＝c.

又∵B＝60°，∴△ABC是等边三角形.

题型二　正弦、余弦定理的综合应用

例2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3，求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值.

解　

（1）由·＝2得，cacosB＝2，

又cosB＝.所以ca＝6.

由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB.

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.

解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.

因为a>c，所以a＝3，c＝2.

（2）在△ABC中，B∈（0，π），

sinB＝＝＝.

由正弦定理得，sinC＝sinB＝×＝.

因为a＝b>c，所以C为锐角，

因此cosC＝＝＝.

于是cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.

跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.

（1）求角B；

（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.

解　

（1）由bsinA＝acosB及正弦定理，

得sinB＝cosB，

即tanB＝，因为B是三角形的内角，所以B＝.

（2）由sinC＝2sinA及正弦定理得，c＝2a.

由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accos，

即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝，c＝2.

题型三　利用正弦、余弦定理证明边角恒等式

例3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：

＝.

证明　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，

∴2（a2－b2）＝2accosB－2bccosA，

即a2－b2＝accosB－bccosA，

∴＝.

由正弦定理得＝，＝，

∴＝＝，

故等式成立.

跟踪训练3　在△ABC中，若acos2＋ccos2＝，求证：

a＋c＝2b.

解　由题a（1＋cosC）＋c（1＋cosA）＝3b，

即a＋a·＋c＋c·＝3b，

∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2，

整理得ab＋bc＝2b2，同除b得a＋c＝2b，

故等式成立.

忽略三角形中任意两边之和大于第三边

例4　已知钝角三角形的三边BC＝a＝k，AC＝b＝k＋2，AB＝c＝k＋4，求k的取值范围.

错解　∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，

∴C为钝角.

由余弦定理得cosC＝＝<0.

∴k2－4k－12<0，解得－2

∵k为三角形的一边长，∴k>0，②

由①②知0

错因分析　忽略隐含条件k＋k＋2>k＋4，即k>2.

正解　∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，

∴C为钝角.

由余弦定理得cosC＝＝<0，

∴k2－4k－12<0，解得－2

由两边之和大于第三边得k＋（k＋2）>k＋4，

∴k>2，②

由①②可知2

误区警示　在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

跟踪训练4　若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是（　　）

A.（1，） B.（，5）

C.（，） D.（1，）∪（，5）

答案　D

解析　

（1）若x>3，则x对角的余弦值<0且2＋3>x，

解得

（2）若x<3，则3对角的余弦值<0且x＋2>3，

解得1

故x的取值范围是（1，）∪（，5）.

1.在△ABC中，bcosA＝acosB，则△ABC是（　　）

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.锐角三角形

2.在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sinCsinB，则A等于（　　）

A.60°B.45°C.120°D.30°

3.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为（　　）

A.B.C.D.

4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是（　　）

A.（8,10）B.（2，）

C.（2，10）D.（，8）

5.在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝.

6.已知△ABC的三边长分别为2,3,4，则此三角形是三角形.

一、选择题

1.在△ABC中，有下列结论

①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；

②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；

③若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形；

④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.

其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

2.在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于（　　）

A.1B.C.2D.4

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

4.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于（　　）

A.10B.9C.8D.5

5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是（　　）

A.（0，]B.[，π）C.（0，]D.[，π）

6.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为（　　）

A.8－4B.1C.D.

7.在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于（　　）

A.B.C.D.

8.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·等于（　　）

A.－ B.－

C.－ D.－

二、填空题

9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值是.

10.△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是.

11.在△ABC中，C＝3B，则的范围是.

三、解答题

12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cosB＝.

（1）求＋的值；

（2）设·＝，求a＋c的值.

13.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：

＝

当堂检测答案

1.答案　B

解析　由题b·＝a·，

整理得a2＝b2，∴a＝b.

2.答案　C

解析　由正弦定理得a2－c2－b2＝bc，

结合余弦定理得cosA＝＝－，

又A∈（0，π），∴A＝120°.

3.答案　D

解析　由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cosA得72＝52＋AC2－2·5·AC·（－），

∴AC＝3或－8（舍）.∴＝＝.

4.答案　B

解析　只需让3和a所对的边均为锐角即可.

故，解得2

5.答案　1

解析　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，

解得a＝1或a＝－2（舍）.

6.答案　钝角

解析　4所对的角的余弦为＝－<0，

故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　A

解析　结合余弦定理可知：

①中A为钝角，正确；②中A＝120°；③中C为锐角，但另两个角未必是锐角；④中A、B、C分别为30°、60°、90°，∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1，故正确的结论为①.

2.答案　C

解析　bcosC＋ccosB＝b·＋c·

＝＝a＝2.

3.答案　D

解析　设顶角为α，底边长为a，周长为5a，故腰长为2a，由余弦定理可得cosα＝＝.

4.答案　D

解析　由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0

∴cosA＝±，∵A为锐角，∴cosA＝，

又a2＝b2＋c2－2bccosA，

∴49＝b2＋36－2·b·6×，

∴b＝5或b＝－（舍）.

5.答案　A

解析　由余弦定理

cosB＝＝＝＋≥，

∵B∈（0，π），∴B∈（0，].

6.答案　C

解析　∵C＝60°，∴c2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab.

又（a＋b）2－c2＝4，∴c2＝a2＋b2＋2ab－4，

故－ab＝2ab－4，∴ab＝.

7.答案　B

解析　设BC＝a，则BM＝MC＝.

在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，

即72＝a2＋42－