人教版必修二数学圆与方程知专题讲义.doc
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人教版必修二圆与方程专题讲义
一、标准方程
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径
2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解)
条件方程形式
圆心在原点
过原点
圆心在轴上
圆心在轴上
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
与轴相切
与轴相切
与两坐标轴都相切
二、一般方程
1.表示圆方程,则
2.求圆的一般方程方法
①待定系数:
往往已知圆上三点坐标
②利用平面几何性质
涉及点与圆的位置关系:
圆上两点的中垂线一定过圆心
涉及直线与圆的位置关系:
相切时,利用到圆心与切点的连线垂直直线;相交时,利用到点到直线的距离公式及垂径定理
3.常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法:
点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内;点在圆上;点在圆外
2.涉及最值:
(1)圆外一点,圆上一动点,讨论的最值
(2)圆内一点,圆上一动点,讨论的最值
思考:
过此点作最短的弦?
(此弦垂直)
3.以两点为直径的圆方程为
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法(为圆心到直线的距离)
(1)相离没有公共点
(2)相切只有一个公共点
(3)相交有两个公共点
2.直线与圆相切
(1)知识要点
①基本图形
②主要元素:
切点坐标、切线方程、切线长等
问题:
直线与圆相切意味圆心到直线的距离恰好等于半径
(2)常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i)点在圆外
如定点,圆:
,[]
第一步:
设切线方程
第二步:
通过,从而得到切线方程
特别注意:
以上解题步骤仅对存在有效,当不存在时,应补上——千万不要漏了.
如:
过点作圆的切线,求切线方程.
答案:
和
ii)点在圆上
若点在圆上,则切线方程为
注:
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.
③求切线长:
利用基本图形,
求切点坐标:
利用两个关系列出两个方程
3.直线与圆相交
(1)求弦长及弦长的应用问题:
垂径定理及勾股定理
(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):
直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
例:
若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1,则半径的取值范围是_________________.答案:
4.直线与圆相离:
会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)
五、对称问题
1.若圆,关于直线,则实数的值为____.
答案:
3(注意:
时,,故舍去)
变式:
已知点是圆:
上任意一点,点关于直线的对称点在圆上,则实数_________.
2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.
变式:
已知圆:
与圆:
关于直线对称,则直线的方程为_______________.
3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.
4.已知直线:
与圆:
,问:
是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点?
若存在,求出的值;若不存在,试说明理由.
六、最值问题
方法主要有:
(1)数形结合;
(2)代换
例:
已知实数,满足方程,求:
(1)的最大值和最小值;——看作斜率
(2)的最小值;——截距(线性规划)
(3)的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
七、圆与圆的位置关系
1.判断方法:
几何法(为圆心距)
(1)外离
(2)外切
(3)相交(4)内切
(5)内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆:
,圆:
,
则为两相交圆公共弦方程.
注:
若与相切,则表示其中一条公切线方程;
若与相离,则表示连心线的中垂线方程.
3.圆系问题
(1)过两圆:
和:
交点的圆系方程为()
注:
1)上述圆系不包括;
2)当时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
(2)过直线与圆交点的圆系方程为
(3)有关圆系的简单应用
(4)两圆公切线的条数问题
①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;
③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线
八、轨迹方程
(1)定义法(圆的定义)
(2)直接法:
通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例:
过圆外一点作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析:
(3)相关点法(平移转换法):
一点随另一点的变动而变动
动点主动点
特点为:
主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.
例:
如图,已知定点,点是圆上的动点,的平分线交于,当点在圆上移动时,求动点的轨迹方程.
分析:
角平分线定理和定比分点公式.
6
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