《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习Word文件下载.docx
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证明:
在△ABC中,∠ACB=90°
,则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如下图)
∵∠ACB=60°
,∴∠ACD=90°
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形).
∴BC=
BD=
[例]右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°
,立柱BD、DE要多长?
观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°
,所以DE=
AD,BC=
AB,又由D是AB的中点,所以DE=
解:
因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°
,由定理知
AB,DE=
AD,
所以BD=
×
7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
所以DE=
AD=
3.7=1.85(m).
答:
立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
[例]等腰三角形的底角为15°
,腰长为2a,求腰上的高.
如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°
,CD是腰AB上的高.
求:
CD的长.
观察图形可以发现,在Rt△ADC中,AC=2a,而∠DAC是△ABC的一个外角,则∠DAC=15°
2=30°
,根据在直角三角形中,30°
角所对的边是斜边的一半,可求出CD.
∵∠ABC=∠ACB=15°
,
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°
∴CD=
AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
Ⅲ.随堂练习
1.Rt△ABC中,∠C=90°
,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?
边AB与BC之间有什么关系?
答案:
∠B=60°
,∠A=30°
,AB=2BC.
2.已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°
,CD是高,∠A=30°
在Rt△ABC中,∠A=30°
在Rt△BCD中,∠B=60°
∴∠BCD=30°
∴BD=
BC.
2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段.
其中一条是另一条的2倍.
在Rt△ABC中,∠A=90°
,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.
CD=2AD.
,∠ABC=2∠C,
∴∠ABC=60°
,∠C=30°
又∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC=30°
∴AD=
BD,BD=CD.
∴CD=2AD.
Ⅳ.课时小结
这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°
的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用.
板书设计
角的直角三角形的性质
在直角三角形中,有一个锐角是30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
13.3.2等边三角形
《第2课时含30°
角的直角三角形的性质》导学案
学习目标:
1.探索含30°
角的直角三角形的性质.
2.会运用含30°
角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
重点:
角的直角三角形的性质.
难点:
运用含30°
知识链接
1.等边三角形的性质有哪些?
2.如何判定一个三角形是等边三角形?
1、要点探究
探究点:
拼一拼:
如图,将两个相同的含30°
角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
填一填:
∠A=∠D=_______,
∠BAC=___________;
AB=DE,
△ABE是__________三角形;
2BC=BE=________.
要点归纳:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证一证:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
.求证:
AB.
方法一:
倍长法
【提示:
延长BC至D,使CD=BD,连接AD】
方法二:
截半法
在BA上截取BE=BC,连接EC】
方法总结:
在证明线段之间的和差倍分关系时,倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.
典例精析
例1:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=30°
,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是( )
A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm
注意:
角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
例2:
如图,∠AOP=∠BOP=15°
,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于( )
A.3B.2C.1.5D.1
方法总结:
角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°
角的直角三角形.
例3如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?
请说明理由.
角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
例4:
已知:
等腰三角形的底角为15°
,腰长为20.求腰上的高.
在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°
角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°
角,利用含30°
角的直角三角形的性质解决问题.
针对训练
1.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°
,AD=2cm,则AC的长是()
A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=____.
第2题图第3题图
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°
,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h=____m.
4.如图所示,已知△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于点D,∠A=30°
.
AB=4BD
∵△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30
∴BC=AB
∠B=
又∵△BCD中,CD⊥AB
∴∠BCD=
∴BD=BC
∴BD=AB
即.
5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°
PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.
二、课堂小结
角的直角三角形的性质:
应用的前提在三角形中,结论是30°
角所对的直角边是的一半,而不是任一直角边是斜边的一半.
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°
角,这棵树在折断前的高度为()
A.6米B.9米C.12米D.15米
第1题图第2题图
2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°
,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()
A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是高,∠A=30°
,AB=4.则BD=.
第3题图第5题图
4.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,若AB=10,则BC=.
5.如图,Rt△ABC中,∠A=30°
,AB+BC=12cm,则AB=______.
6.在△ABC中,∠C=90°
,∠B=15°
,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
.
7.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:
BE=3EA.
拓展提升
8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:
BP=2PQ.
学习目标
1、探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为
30°
2、有一个角为30°
3、体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.
学习重点
学习难点
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考(课前20分钟)
1、阅读课本,思考下列问题:
直角三角形中有一个角为30°
的性质是什么?
2、独立思考后我还有以下疑惑:
二、答疑解惑我最棒(约8分钟)
甲:
乙:
丙:
丁:
同伴互助答疑解惑
三、合作学习探索新知(约15分钟)
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】含30°
【2】用两个全等的含30°
说说你的理由.由此你能想到,在直角三角形中,30°
则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).
四、归纳总结巩固新知(约15分钟)
1、知识点的归纳总结:
★定理:
2、运用新知解决问题:
(重点例习题的强化训练)
【1】例1右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°
五、课后反思:
1、学习目标完成情况反思:
2、掌握重点突破难点情况反思:
3、错题记录及原因分析:
自我评价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是:
2、本节课我对自己最不满意的一件事是:
作业
独立完成()求助后独立完成()
未及时完成()未完成()
一、学习目标
1、理解含30°
锐角的直角三角形的性质;
2、能利用含30°
锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。
二、温故知新(口答)
1、等边三角形三边,三个角都等于,
2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴,它的对称轴。
三、自主探究合作展示
探究
(一)
1、如图
(1),将两个含有30°
角的三角形放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
2、你能用所学的知识验证以上结论吗?
方法1:
如图
(2),△ABC是等边三角形,AD⊥BC于D,∠BAD=°
BD=BC=AB。
方法2:
如图(3),△ABC中,延长BC到D使BD=AB,连接AD,则△ABD是三角形,
=
。
探究
(二)
例题:
如图(4)是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°
,立柱BC、DE要多长?
,所以DE=,BC=,又由D是AB的中点,所以DE=.
探究(三)
A
如图(5),要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C=90°
∠A=30°
要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
四、双基检测
1、等腰三角形中,一腰上的高与底边的夹角为30°
,则此三角形中腰与底边的关系()
A、腰大于底边B、腰小于底边
C、腰等于底边D、不能确定
2、在Rt△ABC中,∠C=90度,∠A=30°
,CD⊥AB于点D,AB=8cm,则BC=,BD=,AD=
3、如图(6),在△ABC中∠C=90°
∠B=15°
AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
五、学习反思
请你对照学习目标,谈一下这节课的收获及困惑。
角的直角三角形的性质》同步练习
一.选择题(共8小题)
1.如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=3,∠B=30°
,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )
A.3.5B.4.2C.5.8D.7
第1题第2题第3题
2.如图,在△ABC中,∠B=30°
,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )
A.10B.8C.5D.2.5
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,以点B为圆心,适当长为半径画弧,与∠ABC的两边相交于点E,F,分别以点E和点F为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线BM,交AC于点D.若△BDC的面
积为10,∠ABC=2∠A,则△ABC的面积为( )
A.25B.30C.35D.40
4.在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠B=30°
,斜边AB的长为2cm,则AC长为( )
A.4cmB.2cmC.1cmD.
m
5.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,则BD与AB的关系是( )
A.BD=ABB.BD=ABC.BD=ABD.BD=AB
第5题第6题第7题第8题
6.如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=10m,∠A=30°
,则立柱BC的长度是( )
A.5mB.8mC.10mD.20m
7.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°
角,这棵树在折断前的高度为( )
A.6米B.9米C.12米D.15米
8.如图,已知∠ABC=60°
,DA是BC的垂直平分线,BE平分∠ABD交AD于点E,连接CE.则下列结论:
①BE=AE;
②BD=AE;
③AE=2DE;
④S△ABE=S△CBE,其中正确的结论是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
二.填空题(共10小题)
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°
,DE=1,则BE的长是 _________ .
10.如图,∠AOE=∠BOE=15°
,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF= _________ .
11.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠B=60°
,AB=10,则BC的长为 _________ .
12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,∠ABC=30°
,底边上的高AD= _______cm.
第9题第10题
第11题第12题
13.如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°
,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= _________ cm.
第13题第14题第15题第16题
14.如图,在△ABC中.∠B=90°
.AB=9cm,D是BC延长线上一点.
且AC=DC.则AD= _________ cm.
15.如图是某超市一层到二层滚梯示意图.其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线,∠ABC=150°
,BC的长约为12米,则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为 _________ 米.
16.在△ABC中,已知A
B=4,BC=10,∠B=30°
,那么S△ABC= _________ .
17.如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AC,若AB=12cm,则CE= ______ cm.
18.有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°
有一灯塔P.继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°
.如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是 _________ 海里.
三.解答题(共5小题)
19.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°
,CD=1,求BD的长.
20.如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°
,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:
DC.
21.如图,△ABC中,∠C=90°
,∠ABC=60°
,BD平分∠ABC,若AD=6,求AC的长.
22.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,CD是△ABC的高,∠A=30°
,AB=4,求BD长.
23.如图,已知∠MAN=120°
,AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.
(1)在图
(1)中,当∠ABC=∠ADC=90°
时,求证:
AD+AB=AC.
(2)若把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°
”改为∠ABC+∠ADC=180°
,其他条件不变,如图
(2)所示.则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
等边三角形
(2)
:
一、DABCCABC
二、9、2;
10、2;
11、5;
12、6;
13、2;
14、18;
15、6;
16、10;
17、3;
18、10
三、19、
(1)证明:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°
∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌
Rt△AED(HL);
(2)解:
∵DC=DE=1,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°
∵∠B=30°
∴BD=2DE=2.
20、解:
如图,连接DB.
∵MN是
AB的垂直平分线,
∴AD=DB,
∴∠A=∠ABD,
∵BA=BC,∠B=120°
∴∠A=∠C=
(180°
﹣120°
)=30°
∴∠ABD=30°
又∵∠ABC=120°
∴∠DBC=120°
﹣30°
=90°
DC,
21、解:
∵△ABC中,∠C=90°
,BD平分∠ABC,
∴∠2=∠3=30°
;
在Rt△BCD中,
CD=
BD,∠4=90°
(直角三角形的两个锐角互余);
∴∠1+∠2=60°
(外角定理),
∴∠1=∠2=30°
∴AD=BD(等角对等边)
∴AC=AD+CD=
AD;
又∵AD=6,
∴AC=9.
22
、解:
,AB=4,
AB=
4=2,
∵CD是△A
BC的高,
∴∠CDA=∠ACB=90°
∠B=∠B,
故∠BCD=∠A=30°
∴在Rt△BCD中,BD=
2=1,
∴BD=1
23、
(1)证明:
∵∠MAN=120°
,AC平分∠MAN,
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠AB
C=∠ADC=90°
∴∠DCA=∠BCA=30°
在Rt△ACD中,∠DCA=30°
,Rt△ACB中,∠
BCA=30°
∴AC=2AD,AC=2AB,
∴AD+AB=AC;
(2)
结论AD+AB=AC成立.
理由如下:
在AN上截取AE=AC,连接CE,
∵∠BAC=60°
∴△CAE为等边三角形,
∴AC=CE,∠AEC=60°
∵∠DAC=60°
∴∠DAC=∠AEC,
∵∠ABC+∠ADC=180°
,∠ABC+∠EBC=180°
∴∠ADC=∠EBC,
∴△ADC≌△EBC,
∴DC=BC,DA=BE,
∴AD+AB=AB+BE=AE,
∴AD+AB=AC.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°
∠A=30°
,若AB=4cm,则BC=_______________.
2.等腰三角形一底角是30°
,底边上的高为9cm,则其腰长为__________,顶角是__________.
3.在△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥A
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