人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案).doc
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必修5数列
2.等差数列中,
A.14 B.15 C.16 D.17
C
3.等差数列中,,则前项的和最大.
解:
∴为递减等差数列∴为最大.10或11
4.已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为.
解:
∵成等差数列,公差为D其首项为,前10项的和为
-110
6.设等差数列的前项和为,已知.
①求出公差的范围;
②指出中哪一个值最大,并说明理由.
解:
①
②
1.已知等差数列中,等于()
A.15B.30C.31D.64
A
2.设为等差数列的前项和,=.
54
3.已知等差数列的前项和为,若.
4.等差数列的前项和记为,已知.
①求通项;②若=242,求.
解:
由,=242
5.甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动,甲第一分钟走2,以后每分钟比前一分钟多走1,乙每分钟走5,①甲、乙开始运动后几分钟相遇?
②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1,乙继续每分钟走5,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?
解:
①设分钟后第一次相遇,依题意有:
故第一次相遇是在开始运动后7分钟.
②设分钟后第二次相遇,则:
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10.已知数列中,前和.
①求证:
数列是等差数列;②求数列的通项公式;
③设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?
若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由.
解:
①∵
∴数列为等差数列.
②
③
,要使得对一切正整数恒成立,只要≥,所以存在实数使得对一切正整数都成立,的最小值为.
三、等比数列
知识要点
1.定义:
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为.
2.递推关系与通项公式
3.等比中项:
若三个数成等比数列,则称为与的等比中项,且是成等比数列的必要而不充分条件.
4.前项和公式
5.等比数列的基本性质,
①,反之不成立!
②
③为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
④若项数为,则.
⑤.
⑥仍成等比数列.
6.等比数列与等比数列的转化
①是等差数列是等比数列;
②是正项等比数列是等差数列;
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
7.等比数列的判定法
①定义法:
为等比数列;
②中项法:
为等比数列;
③通项公式法:
为等比数列;
④前项和法:
为等比数列.
性质运用
1.
D
2.已知数列是等比数列,且.
70
3.⑴在等比数列中,.
①求,②若.
⑵在等比数列中,若,则有等式
成立,类比上述性质,相应的在等比数列中,若,则有等式
成立.
解:
⑴①由等比数列的性质可知:
②由等比数列的性质可知,是等差数列,因为
⑵由题设可知,如果在等差数列中有
成立,我们知道,如果,而对于等比数列,则有所以可以得出结论,若
成立,在本题中
1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为()
①{an2}也是等比数列;②{can}(c≠0)也是等比数列;③{}也是等比数列;④{lnan}也是等比数列.
A.4 B.3 C.2 D.1
2.等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列前17项之积为()
A.216B.-216C.217D.-217
3.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为()
A.1 B.- C.1或-1 D.-1或
4.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3等于()
A.4 B. C. D.2
5.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为()
A.x2-6x+25=0 B.x2+12x+25=0C.x2+6x-25=0 D.x2-12x+25=0
6.某工厂去年总产a,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是()
A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a
7.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于()
A. B.()9 C. D.()10
8.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为()
A.3 B.3 C.12 D.15
9.某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率为()
A. B. C. D.
10.已知等比数列中,公比,且,那么等于()
A.B.C. D.
11.等比数列的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为()
A.全体实数 B.-1 C.1 D.3
12.某地每年消耗木材约20万,每价240元,为了减少木材消耗,决定按征收木材税,这样每年的木材消耗量减少万,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则的范围是()
A.[1,3] B.[2,4] C.[3,5] D.[4,6]
一、选择题:
BDCADBACDBBC
13.在等比数列{an}中,已知a1=,a4=12,则q=_________,an=________.
14.在等比数列{an}中,an>0,且an+2=an+an+1,则该数列的公比q=______.
15.在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求a10=.
16.数列{}中,且是正整数),则数列的通项公式.
二、填空题:
13.2,3·2n-2.14..15.512.16..
17.已知数列满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求证数列{an+1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)又an+1≠0∴=2即{an+1}为等比数列.
(2)解析:
由
(1)知an+1=(a1+1)qn-1即an=(a1+1)qn-1-1=2·2n-1-1=2n-1
18.在等比数列{an}中,已知对n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,求a12+a22+…+an2.
解析:
由a1+a2+…+an=2n-1 ①n∈N*,知a1=1
且a1+a2+…+an-1=2n-1-1②
由①-②得an=2n-1,n≥2又a1=1,∴an=2n-1,n∈N*=4
即{an2}为公比为4的等比数列∴a12+a22+…+an2=
19.在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
解析一:
∵S2n≠2Sn,∴q≠1根据已知条件
②÷①得:
1+qn=即qn=③③代入①得=64 ④
∴S3n=(1-q3n)=64(1-)=63
解析二:
∵{an}为等比数列∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+60=63
20.求和:
Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1(x≠0).
解析:
当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
当x≠1时,∵Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1,①
等式两边同乘以x得:
xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.②
①-②得:
(1-x)Sn=1+2x(1+x+x2+…+xn-2)-(2n-1)xn=1-(2n-1)xn+,
∴Sn=.
21.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
解析:
∵a1an=a2an-1=128,又a1+an=66,
∴a1、an是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64,
∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.
若a1=2,an=64,由=126得2-64q=126-126q,∴q=2,由an=a1qn-1得2n-1=32,∴n=6.
若a1=64,an=2,同理可求得q=,n=6.综上所述,n的值为6,公比q=2或.
22.某城市1990年底人口为50万,人均住房面积为16m2,如果该市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万m2,求2000年底该市人均住房的面积数.(已知1.015≈1.05,精确到0.01m2)
解析:
依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{an}:
a1=50,q=1+1%=1.01,n=11
则a11=50×1.0110=50×(1.015)2≈55.125(万),
又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}:
b1=16×50=800,d=30,n=11
∴b11=800+10×30=1100(万米2)
因此2000年底人均住房面积为:
1100÷55.125≈19.95(m2)
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