一元二次不等式及其解法.doc
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一元二次不等式及其解法.doc
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一元二次不等式及其解法(知识讲解与典型例题)
课标要求分析:
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。
掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。
课标建议在一元二次不等式的学习中,应注重了解一元二次不等式的实际背景。
求解一元二次不等式,首先可求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解;也可以运用代数的方法求解。
鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
本周学习目标:
1.掌握一元二次不等式的基本解法;
2.了解一元二次不等式与相应函数,方程的联系,体会数形结合的数学思想;
3.初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法;
4.能将实际问题转化为数学问题,建立不等式模型,求解不等式。
本周学习重难点:
一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。
本周学习内容:
1.一元一次不等式的解法回顾
为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。
2.一元二次不等式的解法
一元二次不等式的一般形式:
由一元二次不等式的一般形式,即可发现其与二次函数和二次方程的联系,
进而可以利用函数图象得到不等式的解集。
设,两根为,。
结合图象按判别式分类归纳下表:
解集判别式
R
注意:
(1)的情形要转化为的情形;
(2),解集的变化。
关于含参讨论注意:
(1)对二次项系数讨论:
定不等式类型、定图象(开口方向)类型;
(2)对根的讨论:
判别式(根的个数,交点个数)、根的分布(根的大小);
(3)对解集的讨论:
画函数图象草图,根据图象定解集。
(4)书写表达的规范。
3.高次(分式)不等式的解法
简单高次不等式的解法:
穿线法。
注意:
系数化正,右上往左下,奇穿偶不穿。
单独考虑孤立点。
(回顾变号零点存在定理,穿线法的原理还是一个数形结合的思想。
)
分式不等式:
分式化整式。
一边化0,改写成乘积式,注意分母不等于0的限制。
特别小心“≥,≤”型的不等式。
4.无理及指对不等式的解法
无理不等式:
转化思想,等价不等式(组)或数形结合
或,
,
。
5.绝对值不等式的解法
含一个绝对值:
或
含两个或以上绝对值:
零点分段法。
也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。
本周典型例题:
1.解关于x的不等式:
(1)
(2)
分析:
注意对字母系数的讨论,分清谁是参数。
提醒数形结合与数轴的运用。
解析:
(1)不等式可整理为
当,即或时,不等式解集为;
当,即或时,若,解集为R;若,解集为;
当,即时,不等式解集为。
(2)不等式可整理为
当,即或时,不等式解集为
当,即或时,若,解集为R;若,解集为;
若,即时,解集为。
2.解下列一元二次不等式:
(1);
(2);
(3); (4)。
分析:
熟悉一元二次不等式的基本解法,注意二次项系数的正负,化简变形,乘法公式。
解析:
(1)整理得,解集为。
(2)整理得,解集为R。
(3)整理得,解集为[-1,3]。
(4)整理得,解集为。
3.已知二次函数,当时,有,解关于x的不等式。
分析:
考查二次函数与二次不等式的联系。
深化对用函数图象解二次不等式的理解。
解析:
由时,有,说明不等式的解是,
进而方程的两根为。
于是由根与系数的关系,,求得
故不等式即为,解得。
4.若不等式的解集为,求a和b的值。
分析:
考查二次方程与二次不等式的联系。
注意二次项系数的正负。
解析:
不等式的解集为,故。
利用二次不等式与方程的关系,
有,解得。
这个解符合,从而a和b的值均为-2。
5.若不等式对一切都成立,求实数m的取值范围。
分析:
本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。
不等式含有参数m,分类讨论的思想是立刻要想到的,首先就是要“定二次项”。
而后再运用判别式的知识解题。
解析:
由于二次项系数含有参数m,故先对二次项系数进行分类讨论。
若,即m=2,则不等式化为,对一切都成立,故m=2符合题意。
当时,依题意需满足,解得。
综上,m的取值范围为。
6.解关于x的不等式:
(1);
(2);(3)
分析:
本题侧重考查含参二次不等式的解法。
在前面的题目中对含参讨论有一定了解后,本题要求掌握系统的含参讨论方法。
数形结合,定开口、定△、定根(比大小)、画图、写解集。
解析:
(1)若,则为一元一次不等式,解集为;
当时,方程两根为;
若时,则解集为;
若,则,解集为;
若,则解集为;
若,则解集为。
(2)若m=0,则为一元一次不等式,解集为R;
当m≠0时,二次项系数,;不等式化为。
若,则解集为;
若,则解集为。
(3)若k=0,不等式变形为,解集为
若k≠0,不等式为一元二次不等式,
若,则,
方程的根为,
,且,解集为
若,则,
方程的根为,
,且,
解集为
若时,,
方程的根为,解集为
若时,,解集为R。
综上,若,解集为;若,解集为;
若,解集为;若;解集为R。
7.解关于x的不等式:
(1);
(2);
(3); (4)。
分析:
分式不等式转化为高次不等式,用穿线法来求解。
其中要特别注意分母不为0。
(1)原不等式等价于,解集为。
(2)原不等式等价于,解集为。
(3)原不等式等价于,
若,则解集为;
若,则解集为。
(4)不等式可等价为,
若,则解集为;
若,解集为;
若,解集为;
若,解集为;
若,解集为.
8.解关于x的不等式:
(1);
(2);(3)。
分析:
利用不等式变形,但一定要注意进行的是等价变形,不能丢解。
解析:
(1)不等式等价为或,解得。
(2)不等式等价为,解得。
(3)数形结合设,要使,
即左边函数图象在右边函数图象下方,
解方程,
由[1],,,
由图得到:
当时,不等式解集为:
;
当时,不等式解集:
;
当时,不等式解集为。
9.解关于x的不等式:
(1);
(2)。
分析:
利用指对函数的单调性,变形不等式求解。
尤其要注意定义域。
解析:
(1)由为增函数,不等式变形为,再变形为,即
,解得。
(2)原不等式等价为
所以解集为。
10.解关于x的不等式:
。
分析:
转化为不等式组或利用几何性质求解,通过此题熟悉绝对值不等式的基本解法。
解析:
故解集为。
11.解关于x的不等式:
;
分析:
含两个绝对值符号的,利用零点分段,结合图象讨论求解。
解析:
设,则,解不等式,得解集为。
设,则,解不等式,得解集为。
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- 一元 二次 不等式 及其 解法