不等关系与不等式.docx
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不等关系与不等式
[学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
知识点一 不等关系与不等式
1.不等关系
在现实生活中,不等关系主要有以下几种类型:
(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系,如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量;
(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系,如儿童的身高小于或等于1.4m;
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系,如当x>a时,销售收入f(x)大于成本g(x);
(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系,如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2000元.
2.不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“=”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子叫做不等式.
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作:
“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.
②不等式a≤b应读作:
“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.
知识点二 比较大小的依据
(1)比较实数a,b大小的文字叙述
①如果a-b是正数,那么a>b;
②如果a-b等于0,那么a=b;
③如果a-b是负数,那么a
(2)比较实数a,b大小的符号表示
①a-b>0⇔a>b;
②a-b=0⇔a=b;
③a-b<0⇔a 思考 (1)x>1时,x2-x____0(填“>”或“<”). (2)(+)2____10+4(填“>”或“<”). 答案 (1)> (2)< 解析 (1)x2-x=x(x-1) x>1时,x-1>0,x>0, ∴x(x-1)>0,∴x2-x>0. (2)(+)2=8+2=8+4<10+4. 知识点三 常用的不等式的基本性质 (1)a>b⇔b (2)a>b,b>c⇒a>c(传递性); (3)a>b⇒a+c>b+c(可加性); (4)a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒ac (5)a>b,c>d⇒a+c>b+d; (6)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (7)a>b>0⇒an>bn)(n∈N,n≥1; (8)a>b>0⇒>)(n∈N,n≥2. 题型一 用不等式(组)表示不等关系 例1 《铁路旅行常识》规定: 一、随同成人旅行,身高在1.1~1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票. …… 十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克…… 设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系. 文字表述 身高在1.1~1.4米 身高超过1.4米 身高不足1.1米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 解 由题意可获取以下主要信息: (1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米); (2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示. 身高在1.1~1.4米可表示为1.1≤h≤1.4, 身高超过1.4米可表示为h>1.4, 身高不足1.1米可表示为h<1.1, 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示: 文字表述 身高在1.1~1.4米 身高超过1.4米 身高不足1.1米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 1.1≤h≤1.4 h>1.4 h<1.1 P≤160 跟踪训练1 如下图,在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系. 解 由题意,得 题型二 比较实数(式)的大小 例2 (1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R; (2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小. 解 (1)∵x6+1-(x4+x2) =x6-x4-x2+1 =x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1) =(x2-1)2(x2+1)≥0. ∴当x=±1时,x6+1=x4+x2; 当x≠±1时,x6+1>x4+x2. 综上所述,x6+1≥x4+x2,当且仅当x=±1时取等号. (2)∵(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, ∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, 当且仅当x=y=且z=1时取等号. 跟踪训练2 设a>0,b>0,且a≠b,比较aabb与abba的大小. 解 =aa-bbb-a=a-b, 当a>b>0时,>1,a-b>0,∴a-b>1, 当b>a>0时,0<<1,a-b<0,∴a-b>1, ∴a-b>1,即>1, 又∵aabb>0,abba>0,∴aabb>abba. 题型三 不等式性质的应用 例3 已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证: >. 证明 ∵c<d<0, ∴-c>-d>0, 又∵a>b>0, ∴a+(-c)>b+(-d)>0, 即a-c>b-d>0, ∴0<<, 又∵e<0, ∴>. 跟踪训练3 已知a>b,m>n,p>0,求证: n-ap<m-bp. 证明 ∵a>b,又p>0,∴ap>bp. ∴-ap<-bp, 又m>n,即n<m. ∴n-ap<m-bp. 忽视性质成立的条件导致错误 例4 已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围. 错解 1≤a-b≤2,① 2≤a+b≤4,② 由①+②,得3≤2a≤6, ∴≤a≤3,③ 由②+①×(-1),得0≤2b≤3, ∴0≤b≤,④ 由③×4+④×(-2), 得3≤4a-2b≤12. 错因分析 由上述解题过程可知,当a=且b=时,3≤4a-2b才取等号,而此时a-b=0,不满足①式,因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来作变形,是非同解变形,因此结论是错误的. 正解 令a+b=u,a-b=v, 则2≤u≤4,1≤v≤2. 由解得 ∴4a-2b=4·-2· =2u+2v-u+v=u+3v. ∵2≤u≤4,3≤3v≤6, ∴5≤u+3v≤10. ∴5≤4a-2b≤10. 误区警示 把条件中的a-b和a+b分别看做一个整体,采用整体代入法,并结合不等式的性质求解,可以得到正确的结论. 1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是( ) A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 2.设x A.x2 C.x2 3.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x有关 4.若x∈R,则与的大小关系为________. 一、选择题 1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( ) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 2.设0<b<a<1,则下列不等式成立的是( ) A.ab<b2<1 B.logb<loga<0 C.2b<2a<2 D.a2<ab<1 3.已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 4.已知四个条件: ①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 5.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项中不恒成立的是( ) A.> B.>0 C.> D.<0 6.下列命题中,一定正确的是( ) A.若a>b,且>,则a>0,b<0 B.若a>b,b≠0,则>1 C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d D.若a>b,且ac>bd,则c>d 7.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则谁先到教室( ) A.甲 B.乙 C.同时到达 D.无法判断 二、填空题 8.给出下列命题: ①a>b⇒ac2>bc2;②a>|b|⇒a2>b2;③a>b⇒a3>b3;④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题序号是________. 9.一辆汽车原来每天行驶xkm,如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内它的行程就超过2200km,写出不等式为______________;如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为______________. 10.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-3y的取值范围是______. 三、解答题 11. (1)若bc-ad≥0,bd>0,求证: ≤; (2)已知a,b,m均为正数,且a<b,求证: >. 12.若二次函数f(x)的图象关于y对称,且1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4,求f(3)的取值范围. 13.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中x>0且x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小. 当堂检测答案 1.答案 D 解析 据题意知,500x+400y≤20000,即5x+4y≤200,故选D. 2.答案 B 解析 ∵xa2. ∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax. 又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2. ∴x2>xa>a2. 3.答案 A 解析 M-N=x2+x+1=(x+)2+>0. ∴M>N. 4.答案 ≤ 解析 -==≤0. ∴≤. 课时精练答案 一、选择题 1.答案 C 解析 方法一 ∵a+b>0,∴a>-b, 又b<0,∴a>0,且|a|>|b|, ∴a>-b>b>-a. 方法二 设a=3,b=-2,则a>-b>b>-a. 2.答案 C 解析 设a=,b=,验证即得A、D错误;结合y=logx,y=2x的单调性得B错误,C正确. 3.答案 B 解析 M-N=ab-(a+b-1)=ab-a-b+1 =(a-1)(b-1). ∵a,b∈(0,1),∴a-1<0,b-1<0 ∴M-N>0,∴M>N. 4.答案 C 解析 ①中,a<0<b,∴<,
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